[論文レビュー] C^0-rigidity of Poisson brackets

Michael Entov, Leonid Polterovich|ArXiv.org|Dec 18, 2007

Geometric and Algebraic Topology参考文献 12被引用数 23

ひとこと要約

本稿では、シンプレクティック多様体上のポアソン括弧の $C^0$-剛性を、関数の一様（$C^0$）収束下でのポアソン括弧の $L^\natural$-ノルムの下方連続性を示すことによって確立する。証明はホーファー幾何学とハミルトニアン測地線の最小性に依拠し、小さな $C^0$-摂動ではポアソン括弧の最大値が低下しないことを示す。一方、本稿では三つ以上の関数の多重ポアソン括弧に関しては、このような剛性が成立しないことを示している。

ABSTRACT

Consider a functional associating to a pair of compactly supported smooth functions on a symplectic manifold the maximum of their Poisson bracket. We show that this functional is lower semi-continuous with respect to the product uniform (C^0) norm on the space of pairs of such functions. This extends previous results of Cardin-Viterbo and Zapolsky. The proof involves theory of geodesics of the Hofer metric on the group of Hamiltonian diffeomorphisms. We also discuss a failure of a similar semi-continuity phenomenon for multiple Poisson brackets of three or more functions.

研究の動機と目的

• シンプレクティック多様体上のコンパクトに台を持つ滑らかな関数の対に関して、ポアソン括弧の最大値の $C^0$-下方連続性を確立すること。
• カーディン＝ヴィテルボの結果を精緻化し、関数の $C^0$-収束下でポアソン括弧の $L^\natural$-ノルムが極限で保存されることを示すこと。
• 同様の剛性現象が三つ以上の関数の多重ポアソン括弧へと拡張されるかどうかを調査すること。
• 三重ポアソン括弧に関して $C^0$-剛性が成立しないことを、任意に小さな $C^0$-摂動で括弧を消去できる例を構成することで示すこと。
• 関数の $C^0$-収束とそれらのポアソン括弧の収束の違いを明確にし、括弧写像の非連続性を強調すること。

提案手法

• 群 $\mathrm{Ham}^c(M)$ 上のホーファー距離における測地線理論を用い、一意的部分群の小さな区間がそのホモトピー類内で正のホーファー長を最小化することを活用する。
• マクダフのハミルトニアン測地線の最小性に関する結果を適用し、生成関数のポアソン括弧とその交換子のホーファーノルムの関係を確立する。
• スケーリングされたハミルトニアンの時間1フローを用いた摂動論法により、交換子 $[\tilde{f}_s, \tilde{g}_t]$ のホーファーノルムを $\|K_{s,t}\|$ と $\|\{F,G\}\|$ の項で推定する。
• シンプレクティック多様体の厚みのあるグリッド分割を構成し、グリッドの領域で定数となる $T$-適合関数を定義することで、ポアソン括弧の制御を可能にする。
• 局所的なダーブル・チャートを用いて2次元の反例を高次元多様体に埋め込み、三重ポアソン括弧が任意に小さな $C^0$-摂動で恒等的にゼロにできるようにする。
• ポアソン括弧のライブニッツ則を用いて、$\chi F_i$ の積の括弧を因数分解し、関数が領域で定数であれば三重括弧が消えることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数の $C^0$-収束下で、二関数のポアソン括弧の最大値は下方連続か？
• RQ2 カーディン＝ヴィテルボの $C^0$-剛性結果は、ポアソン括弧の $L^\natural$-ノルムに関して極限で等式が成り立つように強化可能か？
• RQ3 $C^0$-剛性はシンプレクティック多様体上での三つ以上の関数の多重ポアソン括弧へと拡張可能か？
• RQ4 多様体 $M$ の次元にのみ依存する普遍的な $N$ が存在し、任意の $N$-組の関数が $C^0$-摂動によってその反復ポアソン括弧を消去可能か？
• RQ5 三重ポアソン括弧 $\{F, \{G,H\}\}$ が非ゼロであっても、$F,G,H$ の任意に小さな $C^0$-摂動で恒等的にゼロにできるか？

主な発見

• 関数の $C^0$-収束下でポアソン括弧の最大値は下方連続である：すべての $F,G \in C_c^\infty(M)$ に対して $\max\{F,G\} = \liminf_{F',G' \to F,G} \max\{F',G'\}$ が成り立つ。
• カーディン＝ヴィテルボの定理を精緻化し、$\|\{F,G\}\| = \liminf_{F',G' \to F,G} \|\{F',G'\}\|$ が成り立つことを示し、[5]で提起された疑問に肯定的に答えている。
• 三重ポアソン括弧に関して $C^0$-剛性は成立しない：任意のシンプレクティック多様体 $M$ に対して、$\{F,\{G,H\}\} \not\equiv 0$ であるが、$C^0$-近傍にある $F',G',H'$ に対して $\{F',\{G',H'\}\} \equiv 0$ となるような $F,G,H$ が存在する。
• 次元2では $N=3$ に対して結果が成り立つ。つまり、任意の三関数の組は $C^0$-摂動によりその反復ポアソン括弧を消去可能である。
• 剛性の失敗は局所的である：2次元の反例はダーブル・チャートを用いて高次元多様体に埋め込まれ、摂動の $C^0$-サイズが保存される。
• 証明により、ポアソン括弧ノルムに関して $\liminf$ を $\lim$ に置き換えられないことが示され、任意に小さな $C^0$-摂動で最大値を任意に大きくできることが判明している。