[論文レビュー] C 1 , 1 regularity for degenerate elliptic obstacle problems in mathematical finance

Panagiota Daskalopoulos, Paul M. N. Feehan|arXiv (Cornell University)|Jun 5, 2012

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、確率的ボラティリティをモデル化する金融工学における重要な作用素である、退化楕円型Heston作用素を含む障害問題の解について、境界にまで最良の $C^{1,1}$ 正則性を確立する。重み付きソボレフ空間および Hölder 空間を用いて、十分に滑らかな障害関数が、永続的アメリカ式オプションの $C^{1,1}$-正則な価格関数をもたらすことを証明する。

ABSTRACT

The Heston stochastic volatility process is a degenerate diffusion process where the degeneracy in the diffusion coefficient is proportional to the square root of the distance to the boundary of the half-plane. The generator of this process with killing, called the elliptic Heston operator, is a second-order, degenerate-elliptic partial differential operator, where the degeneracy in the operator symbol is proportional to the distance to the boundary of the half-plane. In mathematical finance, solutions to the obstacle problem for the elliptic Heston operator correspond to value functions for perpetual American-style options on the underlying asset. With the aid of weighted Sobolev spaces and weighted Holder spaces, we establish the optimal $C^{1,1}$ regularity (up to the boundary of the half-plane) for solutions to obstacle problems for the elliptic Heston operator when the obstacle functions are sufficiently smooth.

研究の動機と目的

• 金融工学における退化楕円型Heston作用素を含む障害問題の解について、最良の正則性を確立すること。
• 半平面の境界で拡散係数が消えるHeston確率的ボラティリティモデルにおける境界の退化の課題に対処すること。
• 金融デリバティブの価格設定に現れる退化楕円型作用素に、古典的正則性理論を拡張すること。
• 確率的ボラティリティ下での永続的アメリカ式オプション価格設定における価格関数の滑らかさに対する厳密な基礎を提供すること。
• $C^{1,1}$ 正則性を境界にまで証明することで、理論的PDE解析と実践的金融モデリングの溝を埋めること。

提案手法

• Heston作用素の退化構造に適合した重み付きソボレフ空間を用い、境界からの距離の平方根に比例するスケーリングを実施する。
• 半平面の退化境界付近での解の振る舞いを制御するために、重み付き Hölder 空間を用いる。
• 境界での退化が境界からの距離に比例する第二階微分作用素として、楕円型Heston作用素を分析する。
• 退化楕円型PDE理論の技術を応用して、障害問題の解の正則性結果を確立する。
• 作用素の構造と障害関数の滑らかさを活用することで、境界にまで $C^{1,1}$ 正則性を確立する。
• 殺し項を含むHeston過程の生成作用素を用いて障害問題をモデル化し、確率過程とPDEを結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 退化楕円型Heston作用素を含む障害問題の解について、最良の正則性クラスは何か？
• RQ2 境界からの距離の平方根に比例するHeston作用素の退化は、解の正則性にどのように影響するか？
• RQ3 障害関数が十分に滑らかであれば、解が境界にまで $C^{1,1}$ 正則性を達成できるか？
• RQ4 Heston作用素の退化を扱い、境界正則性を証明するために必要な関数空間フレームワークは何か？
• RQ5 重み付きソボレフ空間および Hölder 空間は、金融分野における退化楕円型PDEの境界挙動分析をどのように支援するか？

主な発見

• 楕円型Heston作用素の障害問題の解は、半平面の境界にまで最良の $C^{1,1}$ 正則性を達成する。
• $C^{1,1}$ 正則性は、障害関数が十分に滑らかであるという仮定の下で確立される。
• 境界からの距離の平方根に比例するHeston作用素の退化は、重み付き関数空間を用いて処理される。
• 重み付きソボレフ空間および Hölder 空間は、退化楕円型PDEの境界正則性を証明する上で不可欠な道具である。
• 結果は、Hestonモデル下での永続的アメリカ式オプションの価格関数が境界にまで $C^{1,1}$-滑らかであることを確認する。
• 解析により、Heston作用素の構造が境界の退化にもかかわらず、鋭い正則性推定を可能にすることが確認される。