[論文レビュー] $C^1$-generic dynamics: tame and wild behaviour

Christian Bonatti|ArXiv.org|Apr 28, 2003

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 26被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、コンパクト多様体上の$C^1$-一般微分同相写像を調査し、『なだらかな』力学系（Axiom A系に類似したグローバル構造を示し、ホモクライン類が基本的部品の役割を果たす）と『荒々しい』力学系（持続的な非双曲的挙動と、周期軌道を持たない非可算個の飽和トランジティブ集合を特徴とする）の区別を行う。主な貢献は、ネストされた周期的ディスク上での再スケーリングプロセスを用いて、非可算個の最小でリヤプノフ安定かつ周期軌道を含まないトランジティブ集合を持つ$C^1$-一般微分同相写像の存在を証明することにある。

ABSTRACT

This paper gives a survey of recent results on the maximal transitive sets of $C^1$-generic diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• コンパクト多様体上の$C^1$-一般微分同相写像のグローバル構造を理解すること、特にAxiom A系を超えた部分を対象とすること。
• 一般力学系を二つのクラスに分類すること：『なだらか』（ドミネート分割と強靭なトランジティブ性を有する）と『荒々しい』（持続的な非双曲的挙動を示す）。
• 一般$C^1$-微分同相写像における周期軌道を持たないトランジティブ集合の存在と性質を調査すること。
• 非可算個の飽和トランジティブ集合を周期点を含まずに持つ残渣的集合の存在を確立すること。
• ホモクライン類と中心foliationが強靭なトランジティブ性および力学的整合性に果たす役割を探索すること。

提案手法

• Diff^1(M)における残渣的集合を用いた$C^1$-一般性の利用、Pughの閉じる補題やHayashiの接続補題などの摺り替え定理に依拠する。
• 周期的点$p$に関連するトランジティブ集合としてのホモクライン類$H(p,f)$を、安定・不安定多様体の横断的交わりの閉包として定義する。
• $D^3$上の微分同相写像を、任意の$C^1$-開集合の写像に共役できるように、周期的ディスク$D_n$に埋め込む再スケーリングプロセスを適用する。
• 半径が減少し、周期が増加するネストされた周期的ディスクの木構造を構築し、減少列の交わりとして非可算個のトランジティブ集合を導出する。
• 周期的点における微分を恒等写像に限りなく近づける摺り替え戦略を用い、ディスク上での普遍的力学的挙動の構成を可能にする。
• 中心foliationの構造的安定性とプレート拡張性の概念に依拠し、強靭なトランジティブ性と整合性の分析を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元≥3の多様体上の$C^1$-一般微分同相写像は、Axiom A系に類似したスペクトル分解を必ず持つか？
• RQ2 ドミネート分割がなく、またはプレート拡張性のない中心foliationを有する強靭なトランジティブな微分同相写像は存在可能か？
• RQ3 Diff^1(M)の残渣的部分集合において、周期軌道を持たない非可算個の飽和トランジティブ集合を示すものは存在するか？
• RQ4 1つの$C^1$-一般微分同相写像が、$D^3$上での任意の$C^1$-開集合の写像に共役される周期的ディスクを含めることが可能か？
• RQ5 1次元中心バンドルを有する部分的に双曲的微分同相写像が、不変中心foliationを有するための条件は何か？

主な発見

• 開集合$\mathcal{U} \subset Diff^1(M)$における残渣的部分集合$\mathcal{R}$が存在し、任意の$f \in \mathcal{R}$は、周期$t_n \to \infty$を満たす互いに素な周期的ディスク$D_n$の無限族を有する。
• 各$f$に対して、$f^{t_n}$を$D_n$に制限したものは、$D^3$上での任意の$C^1$-開集合の微分同相写像に微分同相的に共役可能であり、普遍的再スケーリング性を示す。
• このようなディスクのネストされた減少列の交わりは、加算機械に共役され、リヤプノフ安定かつ飽和されたトランジティブ集合であり、周期軌道を含まない。
• 次元≥3の多様体上では、開集合$\mathcal{V} \subset Diff^1(M)$における残渣的部分集合$\mathcal{W}$に対して、非可算個の周期点を含まない飽和トランジティブ集合の族が存在する。
• 非実固有値と非自明なヤコビアン変動を有する周期点$p$のホモクライン類$H(p,f)$は、ドミネート分割を有さない場合があり、その結果荒々しい力学系が生じる。
• この構成により、持続的な非双曲的挙動と非可算個の最小トランジティブ集合を特徴とする荒々しい挙動が、次元≥3において$C^1$-一般的であることが示された。