[論文レビュー] C^*- Actions on Stein analytic spaces with isolated singularities

César Camacho, Hossein Movasati+1 more|ArXiv.org|Sep 4, 2007

Advanced Operator Algebra Research参考文献 7被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、特異点が辞書的特異点（dicritical singularity）である正規で2次元のステイン解析的空間に作用する任意の正則 ℂ*-作用は、ℂⁿ⁺¹ 内のアフィン代数的多様体上の良い作用に解析的に共役であることを確立する。主な結果は、このような空間が準同調的代数的表面とbiholomorphicであることを示す GAGA 型定理であり、解体データ（種数、線束の次数、連分数不変量を含む）による完全なモジュライ分類を提供する。

ABSTRACT

Let $V$ be an irreducible complex analytic space of dimension two with normal singularities and $\vr:\mathbb{C^*} imes V o V$ a holomorphic action of the group $\mathbb{C^*}$ on $V$. Denote by $\fa_\vr$ the foliation on $V$ induced by $\vr$. The leaves of this foliation are the one-dimensional orbits of $\vr$. %and its singularities are the fixed points of $\vr$. We will assume that there exists a \emph{dicritical} singularity $p\in V$ for the $\bc^*$-action, i.e. for some neighborhood $p\in W\subset V$ there are infinitely many leaves of $\mathcal {F}_\vr|_{W}$ accumulating only at $p$. The closure of such a local leaf is an invariant local analytic curve called a \emph{separatrix} of $\mathcal{F}_\vr$ through $p$. In \cite{Orlik} Orlik and Wagreich studied the 2-dimensional affine algebraic varieties embedded in $\mathbb{C}^{n+1}$, with an isolated singularity at the origin, that are invariant by an effective action of the form $σ_Q(t,(z_{0},...,z_{n}))=(t^{q_{0}}z_{0},..., t^{q_{n}}z_{n})$ where $Q=(q_0,...,q_n) \in\mathbb N^{n+1}$, i.e. all $q_{i}$ are positive integers. Such actions are called \emph{good} actions. In particular they classified the algebraic surfaces embedded in $\mathbb{C}^{3}$ endowed with such an action. It is easy to see that any good action on a surface embedded in $\mathbb{C}^{n+1}$ has a dicritical singularity at $0\in\mathbb{C}^{n+1}$. Conversely, it is the purpose of this paper to show that good actions are the models for analytic $\mathbb{C^*}$-actions on Stein analytic spaces of dimension two with a dicritical singularity.

研究の動機と目的

• 正規で2次元のステイン解析的空間に辞書的特異点をもつ ℂ*-作用を分類すること。
• このような作用が、ℂⁿ⁺¹ 内のアフィン代数的多様体上の良い代数的作用に解析的に共役であることを証明すること。
• ステイン表面における ℂ*-作用に対して GAGA 型の原理を確立すること。
• 幾何的および算術的不変量を用いて、このような対 (V, φ) の完全なモジュライ空間の記述をすること。

提案手法

• 特異点の解体を用いて、空間をコンpakトなリーマン面の和集合に分解し、そのうちの1つである特別なリーマン面 σ₀ に対して ℂ* が横断的に作用することを示す。
• σ₀ の自己交わり数とは無関係に、σ₀ の近傍における ℂ*-作用の局所線形化を適用する。
• 解体グラフからの連分数列、σ₀ に付随する負の次数の線束、およびそれらのデータを用いて解体の線形モデルを構成する。
• 辞書的特異点の吸引域が全体空間 V に一致することを証明し、線形モデルへの大域的共役性を示す。
• ステイン性と H¹ の消滅を用いて、吸引域が単連結であることを示し、大域的 biholomorphism の可能性を保証する。
• モジュライデータと得られる線形モデルとの間に一対一対応を確立し、分類を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正規で2次元のステイン空間に辞書的特異点をもつ ℂ*-作用は、常に ℂⁿ⁺¹ 内のアフィン代数的多様体上の良い代数的作用として実現可能か？
• RQ2 このような ℂ*-作用の完全なモジュライ空間（biholomorphism を除く同型類としての）は何か？
• RQ3 作用によって誘導されるfoliation の解体における不変量は、対応する空間および作用をどのように分類するか？
• RQ4 辞書的特異点の吸引域は常に全体空間 V に一致するか？
• RQ5 このような空間において、点 p 以外に他の辞書的特異点は存在するか？

主な発見

• 正規で2次元のステイン空間に辞書的特異点をもつ ℂ*-作用は、常に ℂⁿ⁺¹ 内のアフィン代数的多様体上の良い作用に解析的に共役である。
• 辞書的特異点の吸引域は全体空間 V に一致し、大域的線形化が成立する。
• このような対 (V, φ) のモジュライ空間は、種数 g のリーマン面 σ₀ に s 個のマークド点、次数 −k ≤ −1 の線束、収束不等式を満たす連分数列によってパラメトライズされる。
• 特異点におけるfoliation の解体がモジュライデータを決定し、分類は同型を除いて完全かつ一意的である。
• V が滑らかであれば、V は ℂ² に biholomorphic である。これは主定理の特別な場合を確認する。
• 点 p における特異点は、文献で定義された準同調的表面特異点であることが必然である。