[論文レビュー] C*algebras and differential geometry

Alain Connes|ArXiv.org|Jan 15, 2001

Advanced Operator Algebra Research被引用数 10

ひとこと要約

1980年のこの画期的な論文においてアラン・コンヌは、C*-代数とリー群の作用を用いて非可換幾何学の基礎的概念を導入し、非可換トーラス上の有限生成射影モジュールにおける接続、曲率、チャーン類の関係を確立した。拡張されたアティヤ・シンガー指数定理を用いて全曲率の整数性を証明し、実直線上の有限差分微分作用素の指数が整数値をとることを示した。これは無理数回転代数 $A_\theta$ に応用可能である。

ABSTRACT

This is the translation to appear in the "SUPERSYMMETRY 2000 - Encyclopaedic Dictionary" of the original paper, published in March 1980, (C.R. Acad. Sci. Paris, Ser. A-B, 290, 1980) in which basic notions of noncommutative geometry were introduced and applied to noncommutative tori. These include connections on finite projective modules, their curvature, and the Chern character. Finite projective modules on the noncommutative two-torus $ \Tb^2_θ$ were realized as Schwartz spaces of vector valued functions on $\Rb$. Explicit constant curvature connections were constructed and a basic integrality phenomenon of the total curvature was displayed. The pseudo-differential calculus and the Atiyah-Singer index theorems were extended to Lie group actions on $C^*$ algebras and used to explain the above integrality of the total curvature by an index formula for finite difference-differential operators on the line. Recent interest in the hep-th literature for basic notions of noncommutative geometry in the case of noncommutative tori (cf for instance hep-th/0012145 for an excellent review) prompted us to make the English translation of the original paper available.

研究の動機と目的

• リー群の作用を用いてC*-代数の微分幾何的枠組みを構築し、接続や曲率といった概念を一般化する。
• 特にフローとトーラス作用を含むクロス積に関するC*-動的系に、アティヤ・シンガー指数定理を拡張する。
• リー群 $G$ 上の左不変形式のコホモロジーへ、$K_0(A)$ からチャーン類写像を構成する。
• 有限生成射影モジュールの全曲率の整数性を、指数公式を用いて非可換トーラス $T^2_\theta$ 上で証明する。
• 理論を無理数回転代数 $A_\theta$ に応用し、その滑らかなモジュールをシュワーツ空間として実現し、有限差分微分作用素の指数を計算する。

提案手法

• リー群 $G$ による作用 $g \mapsto \alpha_g(x)$ の滑らかさに基づき、C*-代数 $A$ の要素の $C^\infty$-類を定義する。
• 滑らかな要素からなる稠密な $*$-部分代数 $A^\infty$ を構成し、自己随伴冪等元 $e$ を用いて、$A^\infty$ 上の有限生成射影モジュールを $eA^\infty$ 上のモジュールとして実現する。
• 導分 $\delta_X$ に関するライブニッツ則を満たす線形写像 $\nabla$ を、有限生成射影 $A^\infty$-モジュール $\Xi^\infty$ 上の接続として定義する。$\nabla$ は $(\text{Lie } G)^*$ への値をとる。
• 接続と整合するヒルベルト空間構造を、$\langle \xi, \eta \rangle = F^{-1}(\eta)^* F^{-1}(\xi)$ により定義する。
• 標準的ヒルベルト形式と整合するグレアマニアン接続 $\nabla_X^0(\xi) = e \delta_X(\xi)$ をモジュール $eA^\infty$ 上に構成する。
• 双対トレースを用いて、$A \times_\alpha G$ のクロス積へのアティヤ・シンガー指数定理を拡張し、チャーン類およびルエル＝サリヴァンサイクルと関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リー群の作用を備えた非可換C*-代数に対して、接続や曲率といった微分幾何的概念をどのように一般化できるか。
• RQ2 非可換な文脈において $K$-理論とチャーン類写像の役割は何か。また、リー群のコホモロジーへどのように写像できるか。
• RQ3 特に $\mathbb{R}^n$ や $T^2$ の作用を含むクロス積に対して、アティヤ・シンガー指数定理はどのように $C^*$-動的系へ拡張できるか。
• RQ4 非可換トーラス $T^2_\theta$ 上の有限生成射影モジュールの全曲率の整数性とは何か。指数公式によってどのように説明されるか。
• RQ5 非可換トーラス $A_\theta$ 上のベクトル束の滑らかな切断を、$\mathbb{R}$ 上のシュワーツ関数としてどのように実現できるか。また、$A_\theta$ の作用はどのようなものか。

主な発見

• 非可換トーラス $T^2_\theta$ 上の有限生成射影モジュールの滑らかな切断の空間は、シュワーツ空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ に同型であり、$A_\theta^\infty$ は有限差分作用素として作用する。
• 演算子 $D_1 f = \frac{d}{dt}f$ および $D_2 f = \frac{2\pi i t}{\theta}f$ を用いて、$\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 上に定数曲率接続を明示的に構成し、曲率を $1/\theta$ にした。
• モジュールの全曲率は $2\pi$ の整数倍であり、これは有限差分微分作用素の指数公式によって説明される。
• シュワーツ空間 $\mathcal{S}(\mathbb{R})$ 上の有限差分微分作用素 $P$ の指数は整数値をとり、特定のクラスの作用素に対しては $1 + E(1/\theta)$ という明示的公式が与えられる。
• クロス積 $A_\theta \times T^2$ 上の双対トレース $\hat{\tau}$ はコンパクト作用素 $\mathcal{K}$ 上の標準トレースに一致し、$\hat{\tau} \circ \text{Ind}$ は整数値をとり、整数性が確認された。
• フローのための指数定理では、$\widehat{\tau} \circ \text{Ind}(D)$ が $\mathbb{R}^n$ 上の体積形式 $v$ とのペアリング $\langle \text{ch}_\tau(\sigma_D), v \rangle$ として計算され、古典的指数公式の一般化である。