[論文レビュー] $C^*$-algebras associated with the $ax+b$-semigroup over $\mathbb N$

Joachim Cuntz|ArXiv.org|Nov 17, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、自然数上の$ax+b$-半群に関連する純粋に無限大で単純な$C^*$-代数$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$を導入する。これは、加法的平行移動を符号化するために、ボスト＝コンス代数にユニタリ生成子を追加することで構成される。$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$は、有限アデール上の無限に消える連続関数の交叉積と、$\mathbb{Q}$上の$ax+b$-群との間に同型であることが示され、その$K$-理論は素数に結びついた生成子を用いて計算される。

ABSTRACT

We present a $C^*$-algebra which is naturally associated to the $ax+b$-semigroup over $\mathbb N$. It is simple and purely infinite and can be obtained from the algebra considered by Bost and Connes by adding one unitary generator which corresponds to addition. Its stabilization can be described as a crossed product of the algebra of continuous functions, vanishing at infinity, on the space of finite adeles for $\mathbb Q$ by the natural action of the $ax+b$-group over $\mathbb Q$.

研究の動機と目的

• 自然数上の$ax+b$-半群に自然に関連する$C^*$-代数を構成し、加法的平行移動を組み込むことでボスト＝コンス代数を拡張する。
• 等長作用素とユニタリ生成子に関する普遍関係を用いて、得られる$C^*$-代数$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$の単純性と純粋に無限大の性質を確立する。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$を$\mathbb{Q}$のバーンス＝デディーン代数と$\mathbb{N}^\times$との交叉積として記述し、その安定化が$\mathcal{C}_0(\mathbb{A}_f)$と$\mathbb{Q}$上の$ax+b$-群との交叉積に同型であることを示す。
• 乗法的半群を$\mathbb{Z}^\times$に拡張した場合の類似構成を調査し、二面体対称性と$K$-理論の符号のずれを示す$C^*$-代数$\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$を導出する。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$および$\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$の$K$-理論を計算し、生成子が素数にどのように関係するか、および代数的構造における素数の分布を特定する。

提案手法

• 等長作用素$s_n$（$n \in \mathbb{N}^\times$）とユニタリ$u$によって生成される普遍$C^*$-代数として$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$を定義する。関係式は$s_n s_m = s_{nm}$、$s_n u = u^n s_n$、および$\sum_{k=0}^{n-1} u^k e_n u^{-k} = 1$（ここで$e_n = s_n s_n^*$）を満たす。
• シフト作用素$v^k$と乗法作用素$s_n$を用いて、$\ell^2(\mathbb{N})$上に$ax+b$-半群の自然な表現を構成する。関係式は$s_n v^k = v^{nk} s_n$を満たす。
• これらの作用素が生成する$C^*$-代数の商として$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$を得る。コンパクト作用素を因数に取り入れることで、加法的生成子のユニタリ性を強制する。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$が、$\mathbb{A}_f$（有限アデール）上の無限に消える連続関数と、$\mathbb{Q}$上の$ax+b$-群$P^{+}_{\mathbb{Q}}$との交叉積$\mathcal{C}_0(\mathbb{A}_f) \rtimes P^{+}_{\mathbb{Q}}$に同型であることを示す。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$の安定化を分析し、$\mathcal{C}_0(\mathbb{R})$と$P^{+}_{\mathbb{Q}}$との交叉積に同型であることを示す。これにより、有限アデールと無限アデールの間の双対性が明らかになる。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$については、乗法的部分に負の整数を含めるように構成を拡張し、$\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$の$\mathbb{Z}/2$-交叉積として構成する。また、$C^*(D)$（無限大二面体群の群$C^*$-代数）の行列代数の帰納的極限を用いて$K$-理論を計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自然数上の$ax+b$-半群に自然に関連する$C^*$-代数を、乗法的および加法的構造を両方組み込む形でどのように構成できるか？
• RQ2 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$はどのように交叉積として構造化されるのか？また、ボスト＝コンス代数やアデール環$\mathbb{A}_f$とどのような関係にあるか？
• RQ3 $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$の$K$-理論は何か？その生成子は素数とどのように関係するか？
• RQ4 乗法的半群を$\mathbb{Z}^\times$に拡張した場合、構成はどのように変化するか？また、$\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$の$K$-理論は何か？
• RQ5 自然な一パrameter群とその固定点代数は、$\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$の構造において果たす役割は何か？

主な発見

• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$は、加法的生成子のユニタリ性を強制する関係によって、$ax+b$-半群$C^*$-代数の商として得られる純粋に無限大で単純な$C^*$-代数である。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$は、$\mathbb{Q}$のバーンス＝デディーン代数と乗法的半群$\mathbb{N}^\times$との交叉積に同型であり、その安定化は$\mathcal{C}_0(\mathbb{A}_f) \rtimes P^{+}_{\mathbb{Q}}$に同型である。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$の$K$-理論は$K_0(\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}) = \mathbb{Z}^\infty$および$K_1(\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}) = \mathbb{Z}^\infty$であり、生成子は素数によって決定される。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{N}}$の安定化は、$\mathcal{C}_0(\mathbb{R}) \rtimes P^{+}_{\mathbb{Q}}$にも同型である。これにより、有限アデールと無限アデールの間の双対性が示される。
• $\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}$については、$K_0(\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z}^\infty$および$K_1(\mathcal{Q}_{\mathbb{Z}}) = \mathbb{Z}^\infty$であり、$\mathbb{Z}/2$-作用により$K_0$と$K_1$の符号がずれている。
• 自然な一パrameter群の固定点代数は、二面体群の類似物たるバーンス＝デディーン代数のアナロジーであり、$K$-理論は対称性のスペクトル射影と$u^* = fuf$を満たすユニタリの生成子によって生成される。