[論文レビュー] $C^*$-algebras of inverse semigroups: amenability and weak containment

David Milan|ArXiv.org|Oct 10, 2006

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、逆半群におけるアメニタリティの適切な概念として弱包含を確立し、逆半群 $S$ が弱包含をもつことと、その最大の群準同型像がアメニタリティをもち、かつ核が $C^*$-等長的かつ弱包含をもつこととが同値であることを示している。この結果を群による順序付けを用いたゼロを含む逆半群へ拡張し、グラフ逆半群およびニカの $\tau_{G,P}$ 半群が弱包含をもつのは、それらに関連する群または準格子順序がアメニタリティをもつときであると証明した。

ABSTRACT

We argue that weak containment is an appropriate notion of amenability for inverse semigroups. Given an inverse semigroup $S$ and a homomorphism $ϕ$ of $S$ onto a group $G$, we show, under an assumption on $\ker(ϕ)$, that $S$ has weak containment if and only if $G$ is amenable and $\ker(ϕ)$ has weak containment. Using Fell bundle amenability, we find a related result for inverse semigroups with zero. We show that all graph inverse semigroups have weak containment and that Nica's inverse semigroup $\mcT_{G,P}$ of a quasi-lattice ordered group $(G,P)$ has weak containment if and only if $(G,P)$ is amenable.

研究の動機と目的

• 逆半群における弱包含を、群論的アナロジーとしての堅牢なアメニタリティの概念として確立すること。
• 特にゼロや無限大の冪等元集合をもつ逆半群において、従来のアメニタリティの概念に限界があることを解消すること。
• 群による順序付けとフェルバンドルのアメニタリティを用いて、ゼロを含む逆半群への弱包含の特徴付けを拡張すること。
• グラフ逆半群およびニカの $\tau_{G,P}$ 半群が弱包含をもつのは、それらに関連する群または順序付き対がアメニタリティをもつときであることを証明すること。

提案手法

• 弱包含を、$C^*(S)$ と $C^*_r(S)$ の同型として定義するため、普遍 $C^*$-代数 $C^*(S)$ と非可換 $C^*$-代数 $C^*_r(S)$ を用いる。
• 任意の $g \notin H$ に対して $\norm{g}_{C^*(S)} = \norm{g}_{C^*(H)}$ を満たす $C^*$-等長的部分半群 $H$ の概念を導入し、ノルムの整合性を保証する。
• フェルバンドルのアメニタリティ理論を適用して、ゼロを含む逆半群への一般化を実現し、$\theta^{-1}(0) = \{0\}$ を満たす群による順序付け $\theta: S \to G^0$ を用いる。
• ローソンの普遍順序付け構成を用いて、$E^*$-ユニタリ逆半群を定義し、ゼロを含む場合への $E$-ユニタリ半群の一般化を実現する。
• 制限写像 $\rho: \bbC S \to \bbC H$ の正値性を用いて $C^*$-等長性を確立し、特に $H = E(S)$ または各ファイバー $S_g = s_g H$（$g \ne 1_G$）のときを特に考察する。
• エクセルらのフェルバンドルのアメニタリティに関する結果を応用し、グラフ逆半群および $\tau_{G,P}$ 半群が、それらに関連する構造がアメニタリティをもつとき、弱包含をもつことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的な概念がゼロや無限大の冪等元集合のため機能しない場合に、弱包含が逆半群におけるアメニタリティの適切な一般化であると言えるか？
• RQ2 群 $G$ がアメニタリティをもち、$\theta^{-1}(1_G)$ が $C^*$-等長的であると仮定したとき、全射準同型 $\theta: S \to G$ をもつ逆半群 $S$ が弱包含をもつ条件は何か？
• RQ3 ゼロを含む逆半群に対して、弱包含の概念をどのように拡張できるか？特に、群準同型像が自明である場合に。
• RQ4 グラフ逆半群およびニカの $\tau_{G,P}$ 半群が弱包含をもつのは、それらに関連する群または順序付き対がアメニタリティをもつときであると言えるか？
• RQ5 制限写像 $\rho: \bbC S \to \bbC H$ が正値であるための条件は何か？そして、これと $C^*$-等長性、弱包含の関係は？

主な発見

• 逆半群 $S$ が弱包含をもつことと、その最大の群準同型像 $G(S)$ がアメニタリティをもち、核 $\text{ker}(\theta)$ が $C^*$-等長的かつ弱包含をもつこととが同値である。$C^*$-等長性の仮定のもとで成立する。
• $E$-ユニタリ逆半群では、弱包含が成り立つことと、最大の群像がアメニタリティをもつことが同値であり、$E$-ユニタリクリフォード半群に関する既知の結果を一般化する。
• グラフ逆半群は、自由な普遍順序付けをもつ強 $E^*$-ユニタリ半群として弱包含をもち、関連するフェルバンドルがアメニタリティをもつためである。
• ニカの逆半群 $\tau_{G,P}$ は、準格子順序対 $(G,P)$ がニカの意味でアメニタリティをもつとき、かつそのときに限り弱包含をもつ。
• 制限写像 $\rho: \bbC S \to \bbC H$ は、$H = E(S)$ または各ファイバー $S_g$ が $s_g H$ の形のコセットであるとき正値であり、これは $H$ が $S$ において $C^*$-等長的であることを示唆する。
• ブルック＝ライリー拡張 $BR(G,\theta)$ は、群 $G$ がアメニタリティをもつとき、かつそのときに限り弱包含をもつ。核はすべての最大部分群が $G$ に同型なクリフォード $\rho$-半群であるためである。