[論文レビュー] C*-Algebras of Irreversible Dynamical Systems

R. Exel, A. M. Vershik|ArXiv.org|Mar 19, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 15被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、測度を保つ変換から生じるArzumanian–Vershik代数と自己被覆写像から生じるC*-代数の2つのクラスを、自己準同型による交叉積構成の特別な場合として統一する。表現の円作用との共変性を用いた忠実性の基準を確立し、生成元と関係式による明示的記述を提供する。また、被覆写像に関しては、位相的完全性の観点からC*-代数の単純性を特徴づける。

ABSTRACT

We show that certain C*-algebras which have been studied among others by Arzumanian, Vershik, Deaconu, and Renault in connection to a measure preserving transformation of a measure space and/or to a covering map of a compact space are special cases of the endomorphism crossed-product construction recently introduced by the first named author. As a consequence these algebras are given presentations in terms of generators and relations. These results come as a consequence of a general Theorem on faithfulness of representations which are covariant with respect to certain circle actions. For the case of topologically free covering maps we prove a stronger result on faithfulness of representations which needs no covariance. We also give a necessary and sufficient condition for simplicity.

研究の動機と目的

• 測度を保つ変換から生じるC*-代数と自己被覆写像から生じるC*-代数の研究を、一つの枠組みで統一すること。
• これらの代数がExelによって導入された自己準同型による交叉積構成の特別な場合であることを示すこと。
• 円作用と共変である表現の忠実性定理を確立すること。
• これらのC*-代数を生成元と関係式の観点から明示的に記述すること。
• 被覆写像に関して、C*(X,T)の単純性をTの位相的完全性の観点から特徴づけること。

提案手法

• 不可逆な力学系の統一的枠組みとして、自己準同型による交叉積構成を用いる。
• 一般化されたゲージ不変性の独自性定理を適用し、円作用と共変である表現の忠実性を証明する。
• 代数的記述における重複を排除するための単一の関係式を導入し、簡潔な生成元と関係式による記述を可能にする。
• 条件付き期待値とWatataniのインデックス・ファイニット型の概念を用いて、代数的構造が適切に振る舞うことを保証する。
• 移動作用素とコアC*-代数の構造を用いて、イデアル構造と忠実性を分析する。
• 位相的自由性と完全性の条件を用いて、基本代数からのイデアルの持ち上げを介して単純性の結果を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Arzumanian–Vershik代数と被覆写像のC*(X,T)は、どのように一つのC*-代数構成の下で統一できるか？
• RQ2 特に円作用と共変である場合に、自己準同型による交叉積代数の表現が忠実であるための条件は何か？
• RQ3 自己被覆写像に関して、C*(X,T)の明示的記述（生成元と関係式）はどのように得られるか？
• RQ4 自己準同型による交叉積代数C(X) ⋊β,ρ ℕは、どのような条件下で単純か？
• RQ5 移動作用素は、構造的性質と表現の忠実性において、どのような役割を果たすか？

主な発見

• Arzumanian–Vershik代数$$\tilde{AV}(X,T,\nu)$$と被覆写像のC*(X,T)代数は、いずれも自己準同型による交叉積構成の特別な場合である。
• 交叉積の表現が、コア代数上で忠実であり、かつ円作用と共変である場合、一般化されたゲージ不変性の独自性定理により忠実であることが保証される。
• 位相的に自由な被覆写像に関しては、共変性を仮定しなくても表現の忠実性を示すことができ、より強い結果が得られる。
• 自己準同型がWatataniの意味で有限インデックスを持つ場合、C*(X,T)は生成元と関係式による簡潔な記述が可能であり、重複を排除する単一の関係式を用いる。
• 交叉積$$C(X) \rtimes_{\beta,\rho} \bbN$$は、被覆写像Tが位相的に完全であるときに限り単純である。
• 単純性は、非自明な不変な開集合が存在しないことと特徴づけられ、交叉積におけるイデアルは、移動作用素と自己準同型の構造を介して、C(X)における不変イデアルから持ち上げられる。