[論文レビュー] C*-algebras of labelled graphs

Teresa Bates, David Pask|ArXiv.org|Mar 18, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 26被引用数 41

ひとこと要約

この論文は、ラベル付きグラフのC*-代数の統一的枠組みを導入し、超グラフ代数と松本のシフト空間C*-代数を一般化する。弱く左に解体可能なラベル付き空間を定義し、ゲージ不変型の一意性定理を確立することで、最小左解体可能な表現を用いて、非可約ソフィックシフトに自然に単純C*-代数を関連付けることができ、異なるシフト代数構成間の非同型問題を解決する。

ABSTRACT

We describe a class of $C^*$-algebras which simultaneously generalise the ultragraph algebras of Tomforde and the shift space $C^*$-algebras of Matsumoto. In doing so we shed some new light on the different $C^*$-algebras that may be associated to a shift space. Finally, we show how to associate a simple $C^*$-algebra to an irreducible sofic shift.

研究の動機と目的

• 超グラフ代数と松本のシフト空間C*-代数の両方を、共通の枠組みで統一的に研究すること。
• O_ΛとO_Λ*がシフト空間で非同型となる理由を、ラベル付きグラフの非同型性から説明することで、その非同型問題を解消すること。
• 非可約ソフィックシフトに最小左解体可能な表現を用いて、自然な単純C*-代数を構成すること。
• ラベル付きグラフC*-代数が、いかなるグラフ代数ともモリタ同値でないものがあることから、グラフ代数よりも厳密に大きいクラスを形成することを示すこと。

提案手法

• 有向グラフE、ラベル写像π: E¹ → A、頂点集合の集合C ⊆ 2^{E⁰}からなるラベル付き空間(E, π, C)の概念を導入する。
• 部分等長作用素{s_a}と射影{p_A}を用いたラベル付き空間の表現を定義し、一般化されたCuntz-Krieger関係を満たす。
• Cに弱く左に解体可能な条件を導入し、普遍C*-代数C*(E, π, C)の存在を保証する。
• C*(E, π, C)に対してゲージ不変型の一意性定理を確立し、既知のC*-代数との同型結果を得る。
• シフト空間の高次ブロック表現を一般化するため、双対ラベル付き空間を構成する。
• 普遍性とゲージ作用を用いて、基礎となるグラフが行有限でCにすべてのシングルトンを含む場合、C*(E, π, C)とグラフC*-代数C*(E)との同型を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 超グラフ代数と松本のシフト空間C*-代数は、同一の代数的枠組みで統一可能か？
• RQ2 なぜ一部のシフト空間においてO_ΛとO_Λ*は非同型となるのか？これはラベル付きグラフによって説明可能か？
• RQ3 非可約ソフィックシフトに自然な単純C*-代数を関連付けることは可能か？その場合、どのような条件下で可能か？
• RQ4 いかなるグラフ代数ともモリタ同値でないラベル付きグラフC*-代数は存在するか？
• RQ5 ラベル付き空間のC*-代数が、その基礎となるグラフのC*-代数と同型となる条件は何か？

主な発見

• ラベル付き空間のC*-代数C*(E, π, C)は、弱く左に解体可能な表現に関して普遍的であり、超グラフ代数とシフト空間代数を両方一般化する。
• 行有限、ラベル有限、左に解体可能なラベル付きグラフで、すべてのv ∈ E⁰に対して{v} ∈ Cである場合、C*(E, π, C) ≅ C*(E)（グラフC*-代数）が成り立つ。
• Gが行有限であるとき、超グラフ代数C*(G)はその基礎となる有向グラフE_Gに対してC*(E_G) ≅ C*(E_G, π_G, E_G⁰)を満たす。
• （E_Λ, π_Λ）がソフィックシフトΛの左Krieger被覆であるとき、Matsumoto代数O_ΛはC*(E_Λ, π_Λ, E_Λ⁰)に同型である。
• 非可約ソフィックシフトに対して、最小左に解体可能な表現(E, π)は、単純C*-代数C*(E, π, E⁰_−) ≅ C*(E, π, E⁰)を生成し、非最小表現における非単純性の問題を解決する。
• グラフ代数とはモリタ同値でないラベル付きグラフC*-代数が存在し、ラベル付きグラフC*-代数がグラフ代数よりも厳密に大きいクラスを形成することを示す。