[論文レビュー] C*-algebras of tilings with infinite rotational symmetry

Michael F. Whittaker|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2010

Advanced Operator Algebra Research参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、コンウェイ＝ラディンのピンホリュー・タイリングのような無限回転対称性を持つタイリングへ、C*-代数の構成をC*-代数の構成へ拡張する。タイリングの平行移動力学系に基づくエタール同値関係を用いて、群札C*-代数を定義する。分離的稠密部分集合を特定し、置換タイリングに対してAT部分代数を構成する。ピンホリュー・タイリングのAT代数の単純性を証明し、非可逆な接続行列を持つ帰納的極限系を用いてK理論を計算する。

ABSTRACT

A tiling with infinite rotational symmetry, such as the Conway-Radin Pinwheel Tiling, gives rise to a topological dynamical system to which an étale equivalence relation is associated. A groupoid C*-algebra for a tiling is produced and a separating dense set is exhibited in the C*-algebra which encodes the structure of the topological dynamical system. In the case of a substitution tiling, natural subsets of this separating dense set are used to define an AT-subalgebra of the C*-algebra. Finally our results are applied to the Pinwheel Tiling.

研究の動機と目的

• 無限回転対称性、例えばピンホリュー・タイリングを含むタイリングのC*-代数構成を一般化すること。
• タイリングの平行移動力学系に基づき、レナールの理論を用いて群札C*-代数を定義すること。
• タイリングの位相的力学的構造を符号化するC*-代数内の分離的稠密部分集合を特定すること。
• 特にピンホリュー・タイリングを含む、無限回転対称性を有する置換タイリングに対してAT部分代数を構成すること。
• ピンホリュー・タイリングのAT代数のK理論を計算し、その構造を調査すること。

提案手法

• R²の作用によるタイリングの平行移動の空間から位相的力学系を構成する。
• タイリングの空間にエタール同値関係を定義し、群札として扱い、ルネオの群札C*-代数構成を適用可能にする。
• 可換関係を通じて、タイリングの力学的構造を反映するC*-代数内の分離的稠密部分集合を特定する。
• 置換タイリングに対して、円周上の行列代数の帰納的極限系を定義し、AT部分代数を構成する。
• 置換規則を用いて、帰納的極限系の各段階間の接続写像を定義する。特にピンホリュー・タイリングに対して行う。
• 非零元が稠密な回転における反復写像の下でも非零のまま残ることを確認することで、DadarlatたのAT代数の単純性基準を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 群札法を用いて、ピンホリュー・タイリングのような無限回転対称性を有するタイリングのC*-代数をどのように構成できるか。
• RQ2 このようなタイリングのC*-代数内の分離的稠密部分集合の構造は何か。その元はどのように可換するか。
• RQ3 無限回転対称性を有する置換タイリングのC*-代数内に自然なAT部分代数を定義できるか。
• RQ4 ピンホリュー・タイリングのAT部分代数は単純か。その単純性を保証する条件は何か。
• RQ5 ピンホリュー・タイリングのAT代数のK理論は何か。また、コhomological不変量とどのように関係するか。

主な発見

• AT代数の単純性は、反復置換写像における関数の消滅のない性質に基づく基準により、ピンホリュー・タイリングに対して証明された。
• AT代数のK₀とK₁群は同型であり、非分解的完全系列 0 → ℤ → K₀ → ℤ[1/5] → 0 に含まれる。
• K理論は、接続写像が行列 [[2,3],[3,2]] で与えられる ℤ⊕ℤ の帰納的極限として計算され、この行列はℤ上では可逆でない。
• K理論の帰納的極限系は非自明な拡張構造を示しており、K群に非自明な拡張が存在することを示している。
• AT部分代数の構成は、レベルMにおける置換規則が2つの成分にわたって5^M個の異なる行列成分を生成することに依存しており、回転下でも非零のサポートを保存する。
• 無理数回転による円周上での稠密性により、反復置換写像下での関数の非零サポートが稠密であることが示され、単純性基準が満たされている。