[論文レビュー] $C^\ast$-simple groups without free subgroups

A. Yu. Olshanskii, Denis Osin|arXiv (Cornell University)|Jan 28, 2014

Advanced Operator Algebra Research参考文献 32被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、非巡回自由部分群をもたない非自明な $C^\ast$-単純群の最初の既知の例を構成し、$m \geq 2$ および十分に大きな奇数 $n$ に対して、自由バーナイー群 $B(m,n)$ の縮小 $C^\ast$-代数が単純で、トレースが一意であることを証明する。証明は群表現におけるスペクトル半径の推定と相対的双曲群の極限に依拠しており、非自由部分群が存在しない状況における $C^\ast$-単純性に関するデュラール・ハープの長年の未解決問題を解決する。

ABSTRACT

We construct first examples of non-trivial groups without non-cyclic free subgroups whose reduced $C^\ast$-algebra is simple and has unique trace. This answers a question of de la Harpe. Both torsion and torsion free examples are provided. In particular, we show that the reduced $C^\ast$-algebra of the free Burnside group $B(m,n)$ of rank $m\ge 2$ and any sufficiently large odd exponent $n$ is simple and has unique trace.

研究の動機と目的

• 非巡回自由部分群をもたない非自明な $C^\ast$-単純群が存在するかどうかをデュラール・ハープが提起した問いを解決すること。
• 自由バーナイー群 $B(m,n)$ の縮小 $C^\ast$-代数が $m \geq 2$ および大きな奇数 $n$ に対して $C^\ast$-単純であり、トレースが一意であることを確立すること。
• ポワーズ性質をもつ群や非巡回自由部分群をもつ群の範囲を超えて、$C^\ast$-単純群のクラスを拡張すること。
• 強いねじれ性またはねじれなしで非可換だが自由でない構造をもつ群において、$C^\ast$-単純性と一意なトレースが生じることを示すこと。

提案手法

• 群代数の元の左正則表現におけるノルムを制御するため、スペクトル半径が無限小である群の列の使用。
• 相対的双曲群におけるスモール・キャンセレーションおよびデーン・フィリング技法の適用により、望ましい $C^\ast$-代数的性質をもつ極限を構成すること。
• バーンスタイン・ヴァン・カンペン図式におけるレピルティング・セクションとタワーモデルを用いて、自由バーナイー群における語長および共役成長を分析すること。
• ユニタリ共役化とスペクトル半径の推定によりノルムの減衰を確立し、極限においてスペクトル半径が消えることを導くこと。
• 共役和のスペクトル半径がゼロに近づくならば、$C^\ast_{\text{red}}(G)$ は単純で、トレースが一意であるという事実を活用すること。
• スペクトル半径が無限小である群の列 $H_{g,i}$ と集合 $T_{g,i}$ を用いて、相対的双曲群の $C^\ast$-単純極限を構成すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非巡回自由部分群をもたない非自明な $C^\ast$-単純群は存在するか？
• RQ2 ランク $m \geq 2$ および十分に大きな奇数の指数 $n$ をもつ自由バーナイー群 $B(m,n)$ は $C^\ast$-単純か？
• RQ3 ポワーズ性質や非巡回自由部分群をもたない群において、$C^\ast$-単純性とトレースの一意性を達成できるか？
• RQ4 ねじれをもつ、およびねじれなしの両方の状況において、非可換な非巡回自由部分群をもたない、非可算個の有限生成 $C^\ast$-単純群は存在するか？
• RQ5 自由部分群に依存せずに、群表現におけるスペクトル半径の減少から $C^\ast$-単純性を導くことは可能か？

主な発見

• すべての $m \geq 2$ および十分に大きな奇数 $n$ に対して、自由バーナイー群 $B(m,n)$ の縮小 $C^\ast$-代数は単純であり、トレースが一意である。
• 相対的双曲群の極限として構成された群 $G$ は $C^\ast$-単純であり、トレースが一意であり、非巡回自由部分群をもたない。
• 極限 $i \to \infty$ において、和 $\sum_{y \in Y_i} \lambda_G(ygy^{-1})$ のスペクトル半径はゼロに近づく。これは $C^\ast$-単純性とトレースの一意性を示唆する。
• 非可算個の互いに同型でない有限生成ねじれ群が存在し、それらの縮小 $C^\ast$-代数は単純で、トレースが一意である。
• ねじれなしの場合にも同様の結果が成り立ち、導出長3の可解群がこのような例の連続的族を提供する。
• この構成により、$C^\ast$-単純性と一意なトレースが非巡回自由部分群の存在を必要としないことが示され、デュラール・ハープの問いに肯定的に答えられた。