[論文レビュー] C-Codes: Cyclic Lowest-Density MDS Array Codes Constructed Using Starters for RAID 6

Mingqiang Li, Jiwu Shu|arXiv (Cornell University)|Apr 13, 2011

Advanced Data Storage Technologies参考文献 27被引用数 14

ひとこと要約

この論文は、群 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 内の偶数スターターを用いて構築することで、最適な保存効率、最小の更新複雑性、および巡回的対称性を達成する、RAID 6 のための巡回的で最低密度の MDS アレイ符号である C-Code を導入する。長さ $2n$ の任意の C-Code が偶数スターターに対応することを証明し、C-Code とそのツインとの間に双対性を確立し、$p$ が素数であるような長さ $p-1$ に対して4つの無限族（うち3つは新規）の C-Code を構築する。また、8 などの問題のある偶数長に対しては、2つの新しい無限族の準 C-Code を構築する。

ABSTRACT

The distance-3 cyclic lowest-density MDS array code (called the C-Code) is a good candidate for RAID 6 because of its optimal storage efficiency, optimal update complexity, optimal length, and cyclic symmetry. In this paper, the underlying connections between C-Codes (or quasi-C-Codes) and starters in group theory are revealed. It is shown that each C-Code (or quasi-C-Code) of length $2n$ can be constructed using an even starter (or even multi-starter) in $(Z_{2n},+)$. It is also shown that each C-Code (or quasi-C-Code) has a twin C-Code (or quasi-C-Code). Then, four infinite families (three of which are new) of C-Codes of length $p-1$ are constructed, where $p$ is a prime. Besides the family of length $p-1$, C-Codes for some sporadic even lengths are also presented. Even so, there are still some even lengths (such as 8) for which C-Codes do not exist. To cover this limitation, two infinite families (one of which is new) of quasi-C-Codes of length $2(p-1)$ are constructed for these even lengths.

研究の動機と目的

• RAID 6 ストレージシステム向けに、巡回的で最低密度の MDS アレイ符号を、最適な保存効率と更新複雑性を満たすように体系的に開発すること。
• C-Code と群論における組合せ的構造、特に $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 内の偶数スターターとの間の理論的関係を確立すること。
• 従来サポートされていなかった偶数長（例：8）をカバーする、C-Code および準 C-Code の無限族を構築すること。
• 長さ $2n$ の任意の C-Code が $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 内の偶数スターターに対応すること、および各 C-Code がツイン C-Code を有することを証明すること。
• C-Code が存在しない偶数長（例：8）に対し、準 C-Code を導入することで、巡回的 MDS アレイ符号の適用範囲を $p-1$ の長さを超えて拡張すること。

提案手法

• 加法群 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 内の偶数スターターを用いて C-Code を構築し、各スターターが符号のパリティ構造を生成するペアの集合に対応することを定義する。
• 基底グラフに無限大頂点 $\infty_1$ と $\infty_2$ を追加することで、$2n+2$ 頂点の $2n$-正則グラフの二重錐型1因子分解を定義する。
• アルゴリズム2 を用いて、基底1因子 $\tilde{C}_0$ を $2n$ を法とする巡回的加法によりシフトすることで、1因子 $\tilde{C}_i$ を生成し、巡回的対称性を保証する。
• 任意の2つの1因子の和集合がハミルトン路を形成することを示すことで、得られた1因子分解が完全である（任意の2つの1因子の和集合がハミルトン路を形成する）ことを証明する。
• 鳩の巣原理と背理法を用いて、$\mathbb{Z}_{2n}$ 内の0でない要素 $i$（$i \neq n$）が、スターター集合内のペアの差として表現可能であることを証明する。
• C-Code が存在しない偶数長（例：長さ8）に対しては、偶数マルチスターターを用いて準 C-Code を導入し、長さ $2(p-1)$ に対して2つの新しい無限族のこのような符号を構築する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 巡回的で最低密度の MDS アレイ符号を、組合せ的群構造を用いて体系的に構築することは可能か？
• RQ2 C-Code と群 $(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 内の偶数スターターとの間の明確な関係は何か？
• RQ3 どの偶数長 $2n$ に対して C-Code が存在するのか？ そして、それらが存在しない場合には何が可能か？
• RQ4 C-Code とそのツイン C-Code は、最適な性能を維持する対称的性質を共有するか？
• RQ5 特に 8 のような孤立した偶数長に対して、$p-1$ を超える長さの無限族の C-Code および準 C-Code を構築することは可能か？

主な発見

• 長さ $2n$ の任意の C-Code は、$(\mathbb{Z}_{2n}, +)$ 内の偶数スターターに対応し、符号の構築と群論的構造との間に一対一対応が確立される。
• 各 C-Code にはツイン C-Code が存在し、それは同じ性能指標を持つ巡回的で最低密度の MDS アレイ符号である。
• 長さ $p-1$（$p$ が素数）に対して4つの無限族の C-Code を構築した。そのうち3つは本研究で新たに提案されたものである。
• C-Code が存在しない偶数長（例：8）に対しては、長さ $2(p-1)$ の2つの新しい無限族の準 C-Code を構築した。そのうち1つの族は本研究で新たに導入されたものである。
• 構築から得られる1因子分解は完全であることが証明されており、任意の2つの1因子の和集合がハミルトン路を形成する。これにより、最適な符号特性が保証される。
• 構築手法により、最適な更新複雑性と保存効率が確保され、すべてのパリティ更新がXOR演算のみで実現可能である。これにより、RAID 6 や分散ストレージシステムにおける実用性が確保される。