[論文レビュー] C\'EV: Constant L\'evylasticity of Variance

Matthew Lorig|arXiv (Cornell University)|Jul 6, 2012

Stochastic processes and financial applications被引用数 1

ひとこと要約

本稿では、局所時間に依存するドリフト、拡散、デフォルト強度、およびLévy測度を備えた指数型LévyモデルのクラスC'EVを導入する。このモデルにより、正則摂動およびフーリエ解析を用いてヨーロピアン・オプション価格およびインプライド・ボラティリティの級数展開が可能となる。この手法は、明確な条件下で正確な収束を示し、CEVに類似たLévy枠組み内において、積分を要しない明示的なインプライド・ボラティリティの公式を提供する。このモデルはS&P 500のインプライド・ボラティリティ・サーフェスをきわめてよくフィットする。

ABSTRACT

We consider a class of assets whose risk-neutral pricing dynamics are described by an exponential Levy-type process subject to default. The class of processes we consider features locally-dependent drift, diffusion and default-intensity as well as a locally-dependent Levy measure. Using techniques from regular perturbation theory and Fourier analysis, we derive a series expansion for the price of a European-style option. We also provide precise conditions under which this series expansion converges to the exact price. Additionally, for a certain subclass of assets in our modeling framework, we derive an expansion for the implied volatility induced by our option pricing formula. The implied volatility expansion is exact within its radius of convergence. As an example of our framework, we propose a class of CEV-like Levy-type models. Within this class, approximate option prices can be computed by a single Fourier integral and approximate implied volatilities are explicit (i.e., no integration is required). Furthermore, the class of CEV-like Levy-type models is shown to provide a tight fit to the implied volatility surface of S{&}P500 index options.

研究の動機と目的

• デフォルトを受ける資産の局所時間に依存するダイナミクスを有する、柔軟なLévy型モデルのクラスの開発。
• 正則摂動理論およびフーリエ解析を用いてヨーロピアン・オプション価格の級数展開を導出すること。
• オプション価格展開の収束を保証する明確な収束条件の確立。
• 収束半径内において正確な級数展開が得られるインプライド・ボラティリティの展開を導出すること。
• 単一のフーリエ積分を用いたオプション価格の高速計算と、積分を要しない明示的なインプライド・ボラティリティ公式を可能にするCEVに類似たLévyモデルの提案。

提案手法

• 局所時間に依存するドリフト、拡散、デフォルト強度、およびLévy測度を備えた指数型Lévy過程を用いて資産ダイナミクスをモデル化する。
• 小さなパラメータのべき級数に展開する正則摂動理論を適用し、漸近的近似を可能にする。
• フーリエ解析を用いてオプション価格を単一のフーリエ積分として表現し、数値計算を容易にする。
• プライシング公式の逆数を用いてインプライド・ボラティリティの展開を導出し、収束半径内において正確性を保証する。
• CEVモデルに類似したがLévy過程に拡張された、解析的扱いが可能なモデルの部分クラスを構築する。
• S&P 500インデックス・オプションへのキャリブレーションとインプライド・ボラティリティ・サーフェスの評価を通じて、モデルの市場データへの適合性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所時間に依存するパrameterを有する一般のLévy型モデルは、ヨーロピアン・オプション価格の収束級数展開を支持できるか？
• RQ2 オプション価格展開が正確な価格に収束するための明確な数学的条件は何か？
• RQ3 プライシング公式が誘導するインプライド・ボラティリティは、有限の収束半径内においても正確に展開可能か？
• RQ4 提案されたCEVに類似たLévyモデルは、数値積分を要せず、閉形式または近似閉形式のインプライド・ボラティリティ計算を可能にするか？
• RQ5 CEVに類似たLévyモデルは、S&P 500インデックス・オプションの観察されたインプライド・ボラティリティ・サーフェスをどの程度よくフィットするか？

主な発見

• モデルの局所的特徴から導かれた明確な数学的条件下で、オプション価格の級数展開は正確な価格に収束する。
• 特定の部分クラスにおいて、インプライド・ボラティリティの展開は収束半径内において正確であり、高精度な解析的近似が可能となる。
• CEVに類似たLévyモデルにおける近似オプション価格は、単一のフーリエ積分を用いて計算可能であり、計算効率が著しく向上する。
• CEVに類似たモデルにおけるインプライド・ボラティリティは、閉形式で明示的に得られ、数値積分の必要がなくなる。
• CEVに類似たLévyモデルは、S&P 500インデックス・オプションのインプライド・ボラティリティ・サーフェスをきわめてよくフィットし、強い経験的妥当性を示す。
• この枠組みは、CEVモデルをLévy過程に一般化しつつ、解析的扱いの容易さと市場キャリブレーションの可能性を維持している。