[論文レビュー] $C^\infty$ partial regularity of the singular set in the obstacle problem

Federico Franceschini, Wiktoria Zatoń|arXiv (Cornell University)|Feb 1, 2021

Geometry and complex manifolds被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、古典的障害問題における特異集合の $C^\infty$ 局所的正則性を確立し、特異集合 $\Sigma$ が、Hausdorff次元が高々 $n-2$ の集合を除き、$C^\infty$ 超曲面上に局所的に含まれることを示している。解は特異集合の正則点において任意の高次多項式展開を有し、結果は平面ヘリーショウ流れへと拡張され、自由境界に特異点を持つのは高々可算個の時刻に限ることを証明している。

ABSTRACT

We show that the singular set $\Sigma$ in the classical obstacle problem can be locally covered by a $C^\infty$ hypersurface, up to an "exceptional" set $E$, which has Hausdorff dimension at most $n-2$ (countable, in the $n=2$ case). Outside this exceptional set, the solution admits a polynomial expansion of arbitrarily large order. We also prove that $\Sigma\setminus E$ is extremely unstable with respect to monotone perturbations of the boundary datum. We apply this result to the planar Hele-Shaw flow, showing that the free boundary can have singular points for at most countable many times.

研究の動機と目的

• 障害問題における特異集合 $\Sigma$ の $C^1$ や $C^{1,1}$ 正則性を超えた $C^\infty$ 正則性を確立すること。
• 特異集合が、Hausdorff次元が高々 $n-2$ の集合を除き、$C^\infty$ 超曲面上に局所的に含まれることを示すこと。
• 改善された特異集合 $\Sigma^\infty$ の点において、解が任意の高次多項式展開を有することを証明すること。
• 境界データの単調な摂動に対する特異集合の不安定性を分析すること。
• 得られた結果を平面ヘリーショウ流れに応用し、自由境界に特異点を持つのは高々可算個の時刻に限ることを示すこと。

提案手法

• 特異点近傍での解をモデル化するための多項式アンサッツ $P_k(x; p_2, \dots, p_k)$ の使用、ここで $\Delta P_k = f(x) + O(|\cdot|^k)$ となるように。
• Figalli, Ros-Oton, Serra [6] の手法を応用し、$C^\infty$ 正則性を5次以上にまで拡張する統一的枠組みの構築。
• 陰関数定理とWhitney拡張定理を用いて、$\Sigma^\infty$ 上でのジェット写像 $x \mapsto (P_k,x)_{k \in \mathbb{N}}$ の滑らかさを確立すること。
• 非定数 $f$ を取り扱うために、比較原理およびバリア構成を修正し、ラプラシアン推定 $\Delta v = -f\chi_{\{u=0\}} + O(r^k)$ を得ること。
• 解およびその微分の増分に対するHölderおよび $L^p$ 評価を用いて、剰余項を制御すること。
• 展開誤差が $\|f\|_{C^{k+1}}$、$\mu = \inf f$、次元 $n$ に依存する仕組みを分析し、一様な制御を保証すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 障害問題における特異集合が、次元 $n-2$ の集合を除き、$C^\infty$ 超曲面上に局所的に含まれるかどうかを示せるか？
• RQ2 改善された特異集合 $\Sigma^\infty$ の点において、解が任意の高次多項式展開を有するか？
• RQ3 境界データの単調な摂動に対して特異集合はどのように振る舞い、時間的・空間的射影における次元はいかなるものか？
• RQ4 $C^\infty$ 正則性に関する結果を平面ヘリーショウ流れに応用し、自由境界に特異点を持つ時刻の集合を制御できるか？
• RQ5 $f$ が滑らかだが解析的でない場合、特異集合の正確な構造はどのようなものか？また、解析的場合とどのように異なるか？

主な発見

• 特異集合 $\Sigma$ は、Hausdorff次元が高々 $n-2$ の集合 $\Sigma \setminus \Sigma^\infty$ を除き、$C^\infty$ 超曲面上に局所的に含まれる。$n=2$ の場合、この集合は可算である。
• 任意の点 $x \in \Sigma^\infty$ において、解 $u$ は任意の高次多項式展開を有する：すべての $k \in \mathbb{N}$ に対して $u(x+h) = P_{k,x}(h) + O(|h|^{k+1})$ であり、$\Delta P_{k+2,x} = f_k(x)$ となる。ここで $f_k(x)$ は $f$ の $x$ における $k$ 次テイラー多項式である。
• 写像 $x \mapsto (P_{k,x})_{k \in \mathbb{N}}$ は $\Sigma^\infty$ 上でWhitneyの意味で滑らかであり、特異集合の $C^\infty$ 構造を保証する。
• $\Sigma^\infty$ は極めて不安定である：境界データの単調な摂動に対して、$\pi_t(\Sigma^\infty)$ のHausdorff次元は任意の次元 $n \geq 2$ で 0 である。
• 平面の場合（$n=2$）、$\pi_t(\Sigma)$ のHausdorff次元は 0 であるため、ヘリーショウ流れにおいて自由境界が特異点を持つのは高々可算個の時刻に限ることを意味する。
• 本手法により、[6]における $C^5-\varepsilon$ 正則性を、統一的アンサッツとラプラシアンおよび勾配推定におけるきめ細やかな誤差制御を用いて、完全な $C^\infty$ 正則性へと拡張した。