[論文レビュー] C-motivic modular forms

Bogdan Gheorghe, Daniel C. Isaksen+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 25, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 12被引用数 15

ひとこと要約

この論文は、代数幾何的基盤に依存しない、新しい$̲\Gamma_{\star}S^{0}$-加群の圏を用いて、細胞的で2-完全な$\mathbb{C}$-モチーフ的安定ホモトピー理論の位相的モデルを構成する。$\mathit{mmf}$のコホモロジーが$A/\!\!\!\!\!\!A(2)$を実現することを示し、$\Gamma_{\star}S^{0}$-加群のホモトピー圏と2-完全な細胞的$\mathbb{C}$-モチーフ的安定ホモトピー圏との間に同値が存在することを証明する。

ABSTRACT

We construct a topological model for cellular, 2-complete, stable C-motivic homotopy theory that uses no algebro-geometric foundations. We compute the Steenrod algebra in this context, and we construct a "motivic modular forms" spectrum over C.

研究の動機と目的

• 細胞的で2-完全な、代数幾何的基盤に依存しない$\mathbb{C}$-モチーフ的安定ホモトピー理論の位相的モデルを構築すること。
• $\mathbb{C}$上に存在するモチーフ的モジュラー形式スペクトル$\mathit{mmf}$の存在を示し、そのコホモロジーが$A/\!\!\!\!\!\!A(2)$であることを見ること。
• この位相的モデルにおけるスティーナロード代数を計算し、それが$\mathbb{C}$-モチーフ的スティーナロード代数と一致することを示すこと。
• $\Gamma_{\star}S^{0}$-加群のホモトピー圏と2-完全な細胞的$\mathbb{C}$-モチーフ的安定ホモトピー圏との間に同値が存在することを証明すること。

提案手法

• $\Gamma_{\star}S^{0}$を、無限列の古典的スペクトルから構成されるフィルター付きスペクトルの圏として定義し、代数幾何的構成を避ける。
• $MU$（複素コボルディズムスペクトル）を基本的入力として用い、$\Gamma_{\star}S^{0}$に$\mathbb{E}_{\infty}$-環構造を構成する。
• ホモトピー群が$\mathbb{F}_{2}[\tau]$である$\mathbb{F}_{2}$-エイレンベルク＝マクライン$\Gamma_{\star}S^{0}$-加群$\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$を定義し、これは$\mathbb{C}$-モチーフ的コホモロジーと一致する。
• $\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$上のコ作用素を計算し、この文脈におけるスティーナロード代数が$\mathbb{C}$-モチーフ的スティーナロード代数と同型であることを示す。
• $\Gamma_{\star}\mathit{tmf}$を$\Gamma_{\star}S^{0}$-加群として定義し、そのコホモロジーが$A/\!\!\!\!\!\!A(2)$に同型であることを示し、$\mathit{mmf}$の望ましい性質を満たすことを確認する。
• $X \mapsto \Omega^{0,\star}_{s}(X)$の関手の逆関手として$Y_{\star} \mapsto Y_{\star} \otimes_{\Gamma_{\star}S^{0}} S^{0,\star}$を定義し、圏の同値を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 代数幾何的基盤に依存せずに、細胞的で2-完全な$\mathbb{C}$-モチーフ的安定ホモトピー理論の位相的モデルを構築できるか？
• RQ2 $\mathbb{C}$上に存在するモチーフ的モジュラー形式スペクトル$\mathit{mmf}$が、そのコホモロジーが$A/\!\!\!\!\!\!A(2)$であるようなものとして存在するか？
• RQ3 このモデルにおいて、$\mathbb{C}$-モチーフ的スティーナロード代数を純粋に位相的データから再構成できるか？
• RQ4 $\Gamma_{\star}S^{0}$-加群のホモトピー圏と2-完全な細胞的$\mathbb{C}$-モチーフ的安定ホモトピー圏との間に同値が存在するか？

主な発見

• $\Gamma_{\star}S^{0}$-加群の圏は、ヴォエヴォズキーのモチーフ的コホモロジー計算に依存しない、細胞的で2-完全な$\mathbb{C}$-モチーフ的安定ホモトピー理論の完全な位相的モデルを提供する。
• $\mathbb{F}_{2}$-エイレンベルク＝マクライン$\Gamma_{\star}S^{0}$-加群$\Gamma_{\star}H\mathbb{F}_{2}$のホモトピー群は$\mathbb{F}_{2}[\tau]$であり、これは$\mathbb{C}$-モチーフ的コホモロジーと一致する。
• $\Gamma_{\star}S^{0}$-加群の文脈におけるスティーナロード代数は、$\mathbb{C}$-モチーフ的スティーナロード代数と同型であることが確認され、計算的整合性が裏付けられる。
• $\Gamma_{\star}S^{0}$-加群$\Gamma_{\star}\mathit{tmf}$のコホモロジーは$A/\!\!\!\!\!\!A(2)$に同型であり、これは$\mathit{mmf}$の候補としての適切な性質を満たす。
• $\mathbf{Sp}_{\mathbb{C}}$と$\operatorname{Mod}_{\Gamma_{\star}S^{0}}$の間で、$X \mapsto \Omega^{0,\star}_{s}(X)$と$Y_{\star} \mapsto Y_{\star} \otimes_{\Gamma_{\star}S^{0}} S^{0,\star}$の関手が互いに逆関手として作用し、圏の同値を示す。