[論文レビュー] $C^*$-pseudo-Kac systems and duality for coactions of concrete Hopf $C^*$-bimodules

Thomas Timmermann|ArXiv.org|Sep 28, 2007

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 12被引用数 5

ひとこと要約

この論文は、局所コンパクトな群層の関連する正規 $C^*$-擬代数的単位的行列とモジュラー関数から導かれる対称単位的行列を用いて、具体的なホップ $C^*$-バイモジュールのコアクションに対するバージェ・スカンダリス双対性を拡張する。$C^*$-擬カス系と還元型クローズド積を導入し、ホップ $C^*$-バイモジュールのコアクションに対して、バージェ・スカンダリス双対性に類似した双対性定理を確立する。

ABSTRACT

We study coactions of concrete Hopf $C^{*}$-bimodules in the framework of (weak) $C^{*}$-pseudo-Kac systems, define reduced crossed products and dual coactions, and prove an analogue of Baaj-Skandalis duality.

研究の動機と目的

• 具体的なホップ $C^*$-バイモジュールのコアクションに対するバージェ・スカンダリス双対性を、ホップ $C^*$-代数の一般化として一般化すること。
• 著者の以前の研究などに見られる制限的な分解可能性条件を克服すること。
• $C^*$-ファミリーではなく $C^*$-代数の枠組みで作業することで、基礎的仮定を簡略化すること。
• このようなコアクションに対して還元型クローズド積と双対コアクションを構成し、双対性フレームワークを可能にすること。

提案手法

• 還元型クローズド積を定義するための枠組みとして、弱い $C^*$-擬カス系を導入する。
• 局所コンパクトな群層から生じる $C^*$-擬乗法的単位的行列によって、具体的なホップ $C^*$-バイモジュールを定義する。
• $C^*$-代数が具体的なホップ $C^*$-バイモジュールにコアクションする場合の還元型クローズド積を構成する。
• 反対向きの $C^*$-擬乗法的単位的行列を用いて、還元型クローズド積上の双対コアクションを定義する。
• ハール測度系のラドン＝ニコディム導関数から導かれる対称単位的行列 $U$ を用いて双対性を確立する。
• 二度の双対構成を合成すると、元のコアクションが安定化されることを証明する。これはバージェ・スカンダリス双対性に類似している。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 バージェ・スカンダリス双対性は、ホップ $C^*$-代数に限らず、具体的なホップ $C^*$-バイモジュールのコアクションに対しても拡張可能か？
• RQ2 以前の研究に見られる分解可能性条件を要求しない双対性理論はどのように構築可能か？
• RQ3 $C^*$-擬乗法的単位的行列は、クローズド積と双対コアクションの構成において果たす役割は何か？
• RQ4 モジュラー関数から導かれる対称単位的行列 $U$ は双対性同型写像とどのように関係しているか？
• RQ5 局所コンパクトな群層に関連するホップ $C^*$-バイモジュールのコアクションに対しても双対性を確立できるか？

主な発見

• 局所コンパクトな群層から $C^*$-擬カス系を構成することは妥当であり、$C^*$-擬乗法的単位的行列 $V$ は $L^2(G^2_{s,r}, \nu^2_{s,r})$ 上で $(V\theta)(x,y) = \theta(x, x^{-1}y)$ で定義される。
• $(U\xi)(x) = \xi(x^{-1})D(x)^{-1/2}$ で定義される対称単位的行列 $U$ は $U^2 = \mathrm{id}$ を満たし、真の対称性を有する。
• この $C^*$-擬乗法的単位的行列 $V$ の双対 $\widehat{V}$ は $\widehat{V^*} = V^{\mathrm{op}} = \Sigma V^* \Sigma$ を満たし、正規性が確認される。
• 演算子 $Z = \Sigma U_{[2]} V$ は $Z^3 = \mathrm{id}$ を満たし、$C^*$-擬カス系の重要な条件を満たす。
• 二度の双対構成を施すと、元のコアクションが安定化され、バージェ・スカンダリス双対性が一般化される。
• この枠組みは分解可能性の必要性を回避し、直接 $C^*$-代数の設定で作動するため、以前の手法を簡略化する。