[論文レビュー] C^r surface diffeomorphisms with no maximal entropy measure

Jérôme Buzzi|arXiv (Cornell University)|May 18, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 6被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、任意の $1 \leq r < \infty$ に対して、有限で正の位相的エントロピーをもつが、最大エントロピーを達成する不変測度をもたない $C^r$ 表面微分同相写像を、円板（したがって任意の多様体上でも）に構成する。位相的エントロピーがゼロである $C^\infty$ 微分同相写像の摂動を用いて、任意の非準周期的エルゴード測度の最大リャプノフ指数が、位相的エントロピーよりも厳密に小さい系を構築し、ルエールの不等式が厳密に破られることを示し、最大エントロピー測度の存在を排除する。

ABSTRACT

For any $1\leq r

研究の動機と目的

• 位相的エントロピーが有限で正である $C^r$ 表面微分同相写像が最大エントロピー測度をもたないかどうかという未解決問題を、特に次元 2 および 3 において解明すること。
• ニューホウスの $C^\infty$ システムにおける最大エントロピー測度の非存在性に関する結果を、すべての有限 $r$ における $C^r$ 設定に拡張すること。
• 位相的エントロピーがゼロである $C^\infty$ 微分同相写像の摂動を用いて、円板上（したがって任意の多様体上）に明示的な例を構成すること。
• 位相的エントロピーの変分原理における上界が、連続的かつ有限なエントロピーのもとでも、いかなる不変測度によっても達成されないことを示すこと。

提案手法

• 位相的エントロピーがゼロである円板上の $C^\infty$ 微分同相写像 $f_0$ を構成し、摂動の出発点とする。
• $f_0$ を $C^r$-小な摂動により、位相的エントロピー $\frac{1}{r}\lambda(f_0)$ をもつ新しい微分同相写像 $f$ を作成する。
• 摂動を設計して、任意の非準周期的エルゴード測度 $\mu$ について、その最大リャプノフ指数 $\lambda^u(f,\mu)$ が $\frac{1}{r}\lambda(f_0)$ よりも厳密に小さいようにする。
• Ruelleの不等式 $h(f,\mu) \leq \lambda^u(f,\mu)^+$ を用いて、このような $\mu$ が $h_{\text{top}}(f)$ に等しいエントロピーを達成できないことを示し、最大エントロピー測度の存在を排除する。
• フローボックス構成と遷移写像の推定を用いて、円板の異なる領域における微分とリャプノフ指数の成長を制御する。
• 摂動系における遷移時間と微分の成長に一様な上限を確立し、リャプノフ指数が位相的エントロピーよりも厳密に小さく保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $1 \leq r < \infty$ に対して、有限で正の位相的エントロピーをもつ $C^r$ 表面微分同相写像が、最大エントロピー測度をもたないことはあり得るか？
• RQ2 ニューホウスの $C^\infty$ システムにおける最大エントロピー測度の非存在性という結果の鋭さが、有限 $r$ における $C^r$ 正則性のもとでも保たれるか？
• RQ3 特に次元 2 において、最大エントロピー測度が存在しないことは、位相的エントロピーに限りなく近いエントロピーをもつ測度が存在するにもかかわらず、依然として成立するか？
• RQ4 すべての非準周期的エルゴード測度の最大リャプノフ指数が、位相的エントロピーよりも厳密に小さいような $C^r$ 微分同相写像を構成できるか？
• RQ5 動的システムにどのような構造的条件が存在すると、位相的エントロピーの変分原理における上界が達成されないのか？

主な発見

• 任意の $1 \leq r < \infty$ に対して、円板上に位相的エントロピー $h_{\text{top}}(f) = \frac{1}{r}\lambda(f_0) > 0$ をもつ $C^r$ 微分同相写像が存在する。
• すべての非準周期的エルゴード測度 $\mu$ に対して、$\lambda^u(f,\mu) < \lambda^u(\mathcal{P}'(f)) = \frac{1}{r}\lambda(f_0)$ が成り立つため、任意の不変確率測度 $\mu$ は $h_{\text{top}}(f)$ に等しいエントロピーを達成できない。
• 構成法により、位相的エントロピーがすべての非準周期的エルゴード測度の最大リャプノフ指数よりも厳密に小さいことが保証され、ルエールの不等式が厳密に破られる。
• この結果は、次元が 2 以上の任意の多様体上でも成立する。円板上の構成は埋め込みによって拡張可能である。
• この例は $C^r$ 位相において安定である：基盤となる $C^\infty$ 微分同相写像 $f_0$ の任意の近傍 $\mathcal{U}_0$ に対して、同じ非存在性をもつ摂動 $f \in \mathcal{U}_0$ が存在する。
• 主なメカニズムは、位相的エントロピーに対してリャプノフ指数が厳密に最適でないことであり、変分原理が近似を保証するにもかかわらず、最大エントロピーを達成する測度が存在しない。