[論文レビュー] $C^α$ regularity of weak solutions of non-homogenous ultraparabolic equations with drift terms

Wendong Wang, Liqun Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、非同次型の非定常超局所的偏微分方程式に対して、非負の下位解に対する新しい弱いポincare不等式を導入し、Moser反復法を適用することで、漂移項および低次の項を含む方程式の弱解の$C^\alpha$正則性を確立した。主な結果は、可測係数および可積分な低次の項をもつ、より広いクラスの退化放物型方程式へ、古典的なホルダー正則性理論を拡張するものである。

ABSTRACT

Consider a class of non-homogenous ultraparabolic differential equations with drift terms or lower order terms arising from some physical models, and we prove that weak solutions are Hölder continuous, which also generalizes the classic results of parabolic equations of second order. The main ingredients are a type of weak Poincaré inequality satisfied by non-negative weak sub-solutions and Moser iteration.

研究の動機と目的

• 非同次型超局所的偏微分方程式の弱解に対してホルダー正則性（$C^\alpha$）を確立すること。
• 可測係数および可積分な低次の項（$c(x,t) \in L^q$、$f(x,t) \in L^q$、$q > \frac{Q+2}{2}$）をもつ方程式へ、De Giorgi-Nash-Moser理論を拡張すること。
• 低次の項が対数関数を用いた補助関数の使用を妨げる場合に、Moser反復法を適用する困難を克服すること。
• 同次型および超局所的方程式に関する先行研究を、一般の漂移項および低次の項をもつ非同次型の場合に一般化すること。
• 超局所的作用素の文脈において、非負の弱下位解に対して特化された新しい弱いポincare不等式を確立すること。

提案手法

• レベル集合解析に適した補助関数を構成するため、修正されたG関数を導入する。
• 非負の弱下位解に対して、$L^\infty$ノルムを$L^2$ノルムで制御するタイプの弱いポincare不等式を確立する。
• 補助関数$w = G(\frac{u}{h} + h^{1/8})$を用いた修正されたテスト関数を導入し、局所的な$L^\infty$評価を得るためにMoser反復法を適用する。
• 解の振動を制御し、振動の反復的減少を用いてホルダー連続性を導出するために、Kruzhkovのレベル集合法を用いる。
• 作用素の退化放物型性を保証するため、Hörmanderの超局所性条件を行列構造$B$を通じて活用する。
• 同次次元$Q$と臨界的可積分条件$q > \frac{Q+2}{2}$に基づくスケーリング論法を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 De Giorgi-Nash-Moser反復法は、低次の項を含む非同次型超局所的偏微分方程式へ拡張可能か？
• RQ2 漂移項および低次の項を含む超局所的偏微分方程式の非負の弱下位解に対して、弱いポincare不等式が成立するか？
• RQ3 $c(x,t)$および$f(x,t)$に必要な可積分条件は何か？その条件下で弱解の$C^\alpha$正則性が保証されるか？
• RQ4 低次の項のため対数関数を用いた補助関数が使えない場合、Moser反復法はどのように適合可能か？
• RQ5 漂移行列$B$の構造および作用素の退化性は、解の正則性にどのように影響するか？

主な発見

• 弱解$u$が非同次型超局所的作用素$Lu = f$を満たすとき、$c, f \in L^q$（$q > \frac{Q+2}{2}$）および$b' \in L^{Q+2}$の下で、$C^\alpha$正則性を示す。
• 非負の弱下位解に対して、$L^\infty$ノルムを低次の$L^p$ノルムで制御する、新しい弱いポincare不等式が確立された。これは、$L^\infty$ノルムの制御に不可欠な役割を果たす。
• G関数の巧みな構成とレベル集合解析を用いることで、Moser反復法が非同次型の場合に成功裏に適応された。
• 解の振動は、より小さなシリンダ内で反復的に減少し、標準的な反復的議論により$C^\alpha$正則性が導かれる。
• 第二階放物型方程式に対する古典的な$C^\alpha$正則性結果が、退化的かつ非同次型の超局所的設定へ一般化された。
• 証明は、同次次元$Q$を用いた臨界的なスケーリング論法に依存しており、$q > \frac{Q+2}{2}$という条件がポincare型不等式の成立を保証する。