[論文レビュー] C-system of a module over a monad on sets

Vladimir Voevodsky|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2014

Logic, programming, and type systems参考文献 9被引用数 6

ひとこと要約

この論文は、集合上のモノイドとその上の左加群からCシステム（文脈的カテゴリ）を構成し、従属型理論をモデル化する一般化された圏的枠組みを提供する。このCシステムの部分商を、モノイドと加群から直接導かれる構造を用いて特徴づけ、名前付き記号系（nominal signatures）にこの構成を適用することで、判断のα同値類を介して一般化代数的およびマーティン・ローフ型理論のCシステムを回復する。

ABSTRACT

This is the second paper in a series that aims to provide mathematical descriptions of objects and constructions related to the first few steps of the semantical theory of dependent type systems. We construct for any pair $(R,LM)$, where $R$ is a monad on sets and $LM$ is a left module over $R$, a C-system (contextual category) $CC(R,LM)$ and describe a class of sub-quotients of $CC(R,LM)$ in terms of objects directly constructed from $R$ and $LM$. In the special case of the monads of expressions associated with nominal signatures this construction gives the C-systems of general dependent type theories when they are specified by collections of judgements of the four standard kinds.

研究の動機と目的

• 集合上のモノイドとその上の左加群からCシステムを一般化された圏的構成で得ること。
• 構成されたCシステムのすべてのC部分システムおよび正規商を、モノイドと加群から直接得られるデータを用いて特徴づけること。
• 名前付き記号系から生じる記号的対にこの構成を適用し、従属型理論のCシステムを回復すること。
• モノイドと加群の枠組みを用いて、マーティン・ローフ型の判断（例：文脈形成、型形成）の意味論を形式化すること。
• 従属型理論における4つの標準的判断形式（文脈、型、型の等価、項の等価）が、構成されたCシステムにおける正規同値関係および部分Cシステムに正確に対応することを示すこと。

提案手法

• 集合上のモノイド R とその上の左 R 加群 LM から Cシステム CC(R, LM) を構成する。
• [15] の結果を用いて、CC(R, LM) のすべての C部分システムおよび正規商を、R と LM から導かれる構造を用いて記述する。
• CC(R, LM) 上の演算 σ と eσ を定義し、これらと整合する正規同値関係を研究する。
• 名前付き記号系にこの枠組みを適用し、R(X) と LM(X) を変数集合 X に自由に現れる式の α同値類の集合とみなす。
• 従属型理論における4つの標準的判断形式（文脈、型、型の等価、項の等価）をCシステム内の部分集合 C, eC, Ceq, gCeq に同定する。
• 任意の正規同値関係を備えた部分Cシステムは、このような4つの部分集合の組を生じさせ、逆にそのような4つ組が与えられれば、それに対応する部分Cシステムと正規同値関係が存在することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 集合上のモノイドとその上の左加群から、Cシステムを体系的にどのように構成できるか。
• RQ2 このようなCシステムのすべてのC部分システムおよび正規商を、モノイドと加群を用いて完全に特徴づけるにはどうすればよいか。
• RQ3 従属型理論における4つの標準的判断形式（文脈、型、型の等価、項の等価）は、構成されたCシステムの圏的構造からどのように生じるか。
• RQ4 一般化代数的およびマーティン・ローフ型理論のCシステムは、この構成の特別な例として回復可能か。
• RQ5 α同値と名前付き記号系は、従属型システムの圏的意味論において果たす役割は何か。

主な発見

• 任意の集合上のモノイド R と左 R 加群 LM に対して、CC(R, LM) はCシステムを生成し、型理論的意味論の一般化された枠組みを提供する。
• CC(R, LM) のすべてのC部分システムおよび正規商は、[15] の道具立てを用いて、R と LM に直接関連するデータによって完全に特徴づけられる。
• R と LM が名前付き記号系から導かれる場合、従属型理論における4つの標準的判断形式は、CC(R, LM) の特定の部分集合 C, eC, Ceq, gCeq と一対一に対応する。
• λ計算の記号系に対しては、この構成はα同値類をとったλ項を用いた純粋型理論のCシステムを回復する。
• この枠組みにより、型付きλ計算の符号化からは、置換の完全なモノイド構造は回復できないことが示され、束縛を伴う記号の記述にモノイドと加群を用いる正当性が裏付けられる。
• この構成は、既知の一般化代数的理論およびマーティン・ローフ型理論のCシステムを特別な例として包含し、それらの意味論を一つの圏的枠組みで統一する。