[論文レビュー] Caccioppoli--type estimates and Hardy--type inequalities derived from degenerated $p$--harmonic problems

Pavel Drábek, Agnieszka Kałamajska+1 more|arXiv (Cornell University)|May 18, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、重み付きpラプラシアン作用素を含む退化p調和不等式の非負解に対して、キャッチョポリ型推定式を確立する。これらの推定式を用いて、最適定数が偏微分方程式の上解から得られる重み付きソボレフ空間における鋭いハーディー型不等式を導出する。既知の結果を退化設定に拡張し、非退化の場合ですら新たな不等式を提供する。

ABSTRACT

We obtain Caccioppoli--type estimates for nontrivial and nonnegative solutions to the anticoercive partial differential inequalities of elliptic type involving degenerated $p$--Laplacian: $-Δ_{p,a} u:= -\mathrm{div}(a(x)| a u|^{p-2} a u)\ge b(x)Φ(u)$, where $u$ is defined in a domain $Ω$. Using Caccioppoli--type estimates, we obtain several variants of Hardy--type inequalities in weighted Sobolev spaces.

研究の動機と目的

• 退化pラプラシアン不等式 $-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ の非自明で非負の解に対して、キャッチョポリ型推定式を確立すること。
• これらの推定式を用いて、最適定数を伴う重み付きソボレフ空間における明示的なハーディー型不等式を構築すること。
• 退化重みと非線形性を組み込むことにより、既知のハーディー不等式に関する結果を一般化すること。
• 上解 $u_0$ が存在する場合、導出された不等式の定数 $C=1$ が鋭いこと、すなわち最良の定数であることを示すこと。
• 非退化の場合（$a \equiv 1$）の既存結果を拡張し、径数的重み構造における $r \neq 1$ の場合に対しても新たな不等式を提供すること。

提案手法

• テスト関数と部分積分を用いて、非負解 $u$ に対する退化 $p$-ラプラシアン不等式 $-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ に対して、キャッチョポリ型推定式（定理3.1）を導出する。
• 測度 $\mu_1$ と $\mu_2$ を解 $u$、$a(x)$、$b(x)$、$\Phi(u)$ を含む形で含む、$\int_\Omega |\xi|^p \mu_1(dx) \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p \mu_2(dx)$ の形のハーディー型不等式を構築する。
• $\Phi(u) = u^{p-1}$ および $\Psi(t) = t^{-(p-1)}$ の場合に適用し、不等式 $\int_\Omega |\xi|^p b(x)dx \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p a(x)dx$ を得る。
• 非自明で非負の上解 $u_0$ が $-\Delta_{p,a}u_0 = b(x)u_0^{p-1}$ を満たす場合、不等式における定数 $C=1$ が鋭いことを証明する。
• 径数的重み $v_1(x) = (1 + r|x|^{p/(p-1)}) (1 + |x|^{p/(p-1)})^{\gamma(p-1)-p}$ および $v_2(x) = (1 + |x|^{p/(p-1)})^{(p-1)\gamma}$ を用いて、明示的な最適ハーディー＝パオンカレ不等式を構築する。
• 特定の $\gamma$、$r$、$n$、$p$ の条件下で、最適定数 $\bar{C}_{\gamma,n,p,r} = n\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p-1}\left(\gamma - 1 + \frac{n}{p}(1 - r)\right)^{p-1}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の重みと非線形性を含む退化pラプラシアン不等式に対して、非自明で非負の解のキャッチョポリ型推定式を導出できるか？
• RQ2 このようなキャッチョポリ推定式を用いて、重み付きソボレフ空間におけるハーディー型不等式をどのように構築できるか？
• RQ3 導出されたハーディー不等式における定数が最適であるための条件は何か？
• RQ4 非退化の場合（$a \equiv 1$）でさえも、新たな鋭いハーディー型不等式を構築できるか？
• RQ5 パrameter $\gamma$、$r$、$p$、$n$ を含む径数的重みを持つハーディー＝パオンカレ不等式の明示的形と最適性は何か？

主な発見

• 任意の非負解 $u$ に対して、$-\Delta_{p,a}u \geq b(x)\Phi(u)$ の解に対するキャッチョポリ型推定式が確立され、領域 $\Omega$ 内で有効である。
• すべてのリプシッツ連続で compact な台を持つ関数 $\xi$ に対して、導出されたハーディー型不等式 $\int_\Omega |\xi|^p b(x)dx \leq \int_\Omega |\nabla\xi|^p a(x)dx$ が成り立ち、上解 $u_0$ が存在する場合、定数 $C=1$ が最適である。
• 重みが $r$、$\gamma$、$p$、$n$ に依存するクラスの径数的ハーディー＝パオンカレ不等式に対して、最適定数 $\bar{C}_{\gamma,n,p,r} = n\left(\frac{p}{p-1}\right)^{p-1}\left(\gamma - 1 + \frac{n}{p}(1 - r)\right)^{p-1}$ が導出された。
• 条件 $\gamma > nr + 1 - \frac{n}{p}$ または $\gamma = 1 + n(1 - \frac{1}{p})$ かつ $r = 1$ の場合、不等式は鋭いことが確認され、この場合における定数の最適性が裏付けられる。
• D’Ambrosio、Barbatis、Filippas、Tertikas らの既存の研究を一般化し、退化設定および新しい重み構造への不等式の拡張を達成した。
• 非退化の場合（$a \equiv 1$）ですら、$r \neq 1$ の場合に新たな不等式が得られ、これは [41] らの先行研究ではカバーされていない。