[論文レビュー] Cahen-Gutt moment map, closed Fedosov star product and structure of the automorphism group

Akito Futaki, Hajime Ono|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、非負のリッチ曲率をもつコンpactなカーラー多様体が閉じたフェドソフ星積を許容するならば、その正規化された正則ベクトル場のリー代数は再帰的であることを確立する。カラビの極小ケーラー理論におけるカヘン–グルトのモーメント写像の類似を用いて、著者たちはこのような多様体の構造定理を証明し、星積の閉じ性の障害が正則ベクトル場代数の再帰的性と関連していることを示している。これは古典的なcscKの場合と類似している。

ABSTRACT

We show that if a compact Kaehler manifold $M$ of non-negative Ricci curvature admits closed Fedosov star product then the reduced Lie algebra of holomorphic vector fields on $M$ is reductive. This comes in pair with the obstruction previously found by La Fuente-Gravy. More generally we consider the squared norm of Cahen-Gutt moment map as in the same spirit of Calabi functional for the scalar curvature in cscK problem, and prove a Cahen-Gutt version of Calabi's theorem on the structure of the Lie algebra of holomorphic vector fields for extremal Kaehler manifolds. The proof uses a Hessian formula for the squared norm of Cahen-Gutt moment map.

研究の動機と目的

• 非負リッチ曲率をもつコンパクトケーラー多様体上での閉じたフェドソフ星積の存在に関する構造的障害を確立すること。
• カラビの極小ケーラー構造定理をカヘン–グルトのモーメント写像の設定に拡張し、'カヘン–グルト極小'ケーラー計量を定義すること。
• ラ・フエンテ＝グラヴィが定義するリー代数の字（cscKの場合のフタキ不変量に類似）の消滅と、正規化された正則ベクトル場代数の再帰的性との関係を示すこと。
• ワン（2015）の形式的有限次元ヘッシアンの議論を、構造定理の証明に用いるカヘン–グルトのモーメント写像枠組みへ一般化すること。

提案手法

• スカラー曲率関数のcscK幾何における関数に類似して、モーメント写像のノルムの二乗として、カラビ関数のカヘン–グルト版を定義する。
• ハミルトニアンベクトル場によるシンプレクティック接続のリー微分を用いて、ケーラー設定におけるモーメント写像の明示的公式を導出する。
• 修正されたリヒネロヴィッチ作用素を直接計算することなく、ワンの形式的ヘッシアンの議論を二乗モーメント写像ノルムに適用する。
• 修正されたリヒネロヴィッチ作用素の非ゼロ固有値が、モーメント写像の勾配の随伴作用の固有値と一致することを証明する。
• 修正されたリヒネロヴィッチ作用素の0固有空間が、キリングベクトル場の複素化されたリー代数に対応することを示す。
• 完全な正則ベクトル場代数における最大の再帰的部分代数として、正規化された正則ベクトル場代数が再帰的であることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非負リッチ曲率をもつコンパクトケーラー多様体が閉じたフェドソフ星積を許容するならば、その正規化された正則ベクトル場のリー代数は再帰的であるか？
• RQ2 カヘン–グルトのモーメント写像の観点から、カラビの極小ケーラー計量に関する定理と類似した構造定理を定式化できるか？
• RQ3 ラ・フエンテ＝グラヴィが定義するリー代数の字は、固定されたケーラー類内での複素構造の選び方に依存しないか？
• RQ4 正則ベクトル場代数の再帰的性とカヘン–グルトのモーメント写像の幾何的性質との間にはどのような関係があるか？

主な発見

• 非負リッチ曲率をもつコンパクトケーラー多様体が閉じたフェドソフ星積を許容するならば、その正規化された正則ベクトル場のリー代数は再帰的である。
• 正規化された正則ベクトル場のリー代数は、キリングベクトル場のリー代数の複素化と同型である。すなわち、$\mathfrak{g}_0 = \mathfrak{i}(M) \otimes \mathbb{C}$ である。
• ラ・フエンテ＝グラヴィが定義するリー代数の字 $\mathrm{Fut}$ は、カヘン–グルトのモーメント写像が定数であるときにかつそのときに限り消える。この字は、固定されたケーラー類内での複素構造の選び方に依存しない。
• 多様体の自己同型群には、その恒等成分の最大コンパクト部分群が存在し、そのリー代数はキリングベクトル場の実リー代数である。これは、全自己同型群の恒等成分の最大コンパクト部分群である。
• カヘン–グルト極小ケーラー多様体の構造定理から、修正されたリヒネロヴィッチ作用素の0固有空間を含む任意の再帰的リー部分代数は、それ自身に等しくなることが示され、最大性が証明される。
• $\mathbb{C}P^2$ を1点で blown up した例は、非再帰的である正規化された正則ベクトル場代数を示しており、この多様体には閉じたフェドソフ星積をもつケーラー計量が存在しないことを確認している。