[論文レビュー] Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions and mass constraint on the boundary

Pierluigi Colli, T. Fukao|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2014

Solidification and crystal growth phenomena参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、体積内と境界上に質量保存制約を課した動的境界条件を有するCahn–Hilliard方程式の適切性を、体積内と境界上それぞれに対応する2つのラグランジュ乗数を導入することによって確立する。劣微分理論と変分不等式の理論を用いて、制約のもとでの解の存在、一意性、連続的依存性を証明し、ラグランジュ乗数による完全な特徴付けと、近似および極限過程における一様な事前推定を示す。

ABSTRACT

The well-known Cahn-Hilliard equation entails mass conservation if a suitable boundary condition is prescribed. In the case when the equation is also coupled with a dynamic boundary condition, including the Laplace-Beltrami operator on the boundary, the total mass on the inside of the domain and its trace on the boundary should be conserved. The new issue of this paper is the setting of a mass constraint on the boundary. The effect of this additional constraint is the appearance of a Lagrange multiplier; in fact, two Lagrange multipliers arise, one for the bulk, the other for the boundary. The well-posedness of the resulting Cahn-Hilliard system with dynamic boundary condition and mass constraint on the boundary is obtained. The theory of evolution equations governed by subdifferentials is exploited and a complete characterization of the solution is given.

研究の動機と目的

• 動的境界条件を伴うCahn–Hilliard系に境界上での質量制約を組み込む数学的課題に取り組むこと。
• 標準的な動的境界条件では自動的に保証されないが、体積内および境界上での質量保存を保証すること。
• 追加の制約に起因し、体積内と境界上それぞれに対応する2つのラグランジュ乗数を用いて解を特徴付けること。
• 変分および発展方程式の技法を用いて、解の存在、一意性、連続的依存性を確立すること。
• 抽象的発展包含および正則化法を用いて、Cahn–Hilliard系の理論を、非標準的な境界上質量制約を含む形に拡張すること。

提案手法

• Cahn–Hilliard方程式に動的境界条件を含む系を、劣微分に支配される抽象的発展包含として定式化する。
• 境界上質量制約を満たすためにラグランジュ乗数を導入し、結果として体積内と境界上それぞれに対応する2つの乗数が得られる。
• 最大単調グラフのモアレ–ヨシダ正則化を用いて近似問題の可解性を保証する解法を構築する。
• エネルギー法および関数解析的道具を用いて、正則化問題に対する一様な事前推定を導出する。
• 正則化パラメータε → 0および粘性パラメータτ → 0の極限をとる際、Sobolev空間およびLebesgue空間における弱収束および強収束の議論に依拠する。
• 正則化系における極限に伴う解の存在を証明し、すべての解成分および乗数の収束を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 動的境界条件を伴うCahn–Hilliard方程式において、境界上での質量制約を数学的にどのように強制できるか。
• RQ2 体積内および境界上での質量保存が要求される状況において、ラグランジュ乗数が解を特徴付ける役割を果たす仕組みは何か。
• RQ3 変分的および劣微分的手法を用いて、このような境界上質量制約のもとで、系の適切性を確立できるか。
• RQ4 解の正則性および収束性は、粘性パラメータτおよび正則化パラメータεにどのように依存するか。
• RQ5 境界上質量制約は、解の長期的挙動および安定性にどのような影響を及えるか。

主な発見

• 解は抽象的発展包含の意味で一意に存在し、解およびその成分は2つのラグランジュ乗数によって完全に特徴付けられる。
• 解はv ∈ C([0,T]; V₀)およびvΓ ∈ C([0,T]; VΓ)を満たし、状態変数が時間に関して強く連続であることを示す。
• 正則化問題に対して一様な事前推定が確立され、ε → 0およびτ → 0の極限における収束が可能になる。
• 極限解は、ラグランジュ乗数λによって質量制約が強制された元の系を満たす。
• 純粋なCahn–Hilliard系（τ = 0）の解は、粘性問題の極限として得られ、この場合の適切性も確認される。
• 補助的量v*およびλは一般には一意でないが、解v自体は一意に定まる。