[論文レビュー] ${\cal C}^{1,\beta}$ regularity for Dirichlet problems associated to fully nonlinear degenerate elliptic equations

Isabeau Birindelli, F. Demengel|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2012

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、有界な $C^2$ 領域における完全非線形退化楕円型方程式 $|\nabla u|^\alpha(F(D^2u) + h(x) \cdot \nabla u) = f$ の粘性解について、$C^{1,\beta}$ 型の正則性を確立する。これは、既存の内部正則性結果を境界にまで拡張するものであり、著者らは新たな境界における平坦性向上技術を導入し、重み付きバリア関数とコンパクト性の議論を用いて退化を扱い、$\alpha \geq 0$ のとき、解が境界にまでグレディエントでホルダー連続であることを証明する。ホルダー指数 $\beta$ は $\alpha$、$N$、楕円型定数に依存する明示的な形で与えられる。

ABSTRACT

In this paper we prove Holder regularity of the gradient for solutions of Dirichlet problem associate to degenerate elliptic equations, extending the recent result of Imbert and Silvestre. Indeed we obtain regularity up to the boundary and when the equation has lower order terms.The proof follows their scheme but requires new tools and new ideas. In particular we give some a priori Lipschitz and H\"older estimates in the presence of boundary condition on one part of the boundary.

研究の動機と目的

• 退化完全非線形楕円型方程式 $|\nabla u|^\alpha(F(D^2u) + h(x) \cdot \nabla u) = f$ の粘性解について、$C^{1,\beta}$ 正則性を境界にまで拡張すること。これは、既存の内部正則性結果を拡張するものである。
• 方程式 $|\nabla u|^\alpha(F(D^2u) + h(x) \cdot \nabla u) = f$ の形をした方程式について、$|\nabla u| \to 0$ のときの退化が生じる境界近傍におけるグレディエント正則性の未解決問題を解消すること。これは、一般化された主固有値の単純性を示すために不可欠である。
• 重み付きバリア関数とコンパクト性の議論を用いて、$|\nabla u|^\alpha$ に起因する退化および $h(x) \cdot \nabla u$ の低次の項を扱う、新たな境界における平坦性向上技術とコンパクト性の議論を構築すること。
• 境界が連結な $C^2$ 領域において、演算子 $|\nabla u|^\alpha(F(D^2u) + h(x) \cdot \nabla u) + \bar{\lambda} u^{1+\alpha} = 0$ の一般化された主固有値 $\bar{\lambda}$ が単純であることを証明すること。
• 低次の項と境界条件を含めた正則性理論を拡張し、データに明示的な依存関係を持つ完全な $C^{1,\beta}$ 評価を提供すること。

提案手法

• 重み付きバリア関数と境界距離の推定を用いて、特に $\nabla u$ が小さいときの境界挙動を制御する。
• 有界な解の列がコンパクト部分集合上で一様に収束し、極限方程式が元の構造を保つことを示すコンパクト性の議論を用いる。
• ブロー・アップ法と背理法を用いて、勾配のホルダー連続性が境界にまで保たれることを示し、勾配列の有界性に依存する。
• 境界における平坦性向上のための補題を適応した改良版を用い、$u - p \cdot x$ の振幅が $r^{1+\beta}$ のように減少することを証明する。
• 低次の項 $h(x) \cdot \nabla u$ を含む粘性解の比較原理を適用し、退化領域でも比較が成り立つことを保証する。
• $a \in C^2$、$a(0) = \nabla a(0) = 0$ かつ $a$ が恒等的にゼロでないとき、$|p_n \cdot (x', a(x'))| \leq C$ を満たす列 $p_n$ が有界であることを示す技術的補題を導入する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 方程式 $|\nabla u|^\alpha(F(D^2u) + h(x) \cdot \nabla u) = f$ の粘性解について、$\alpha \geq 0$ のとき境界にまで $C^{1,\beta}$ 正則性が成り立つか？
• RQ2 勾配が $|\nabla u| \to 0$ に近づくときの退化を考慮しても、境界付近で強力な比較原理を適用できるか？
• RQ3 境界が連結な $C^2$ 領域において、演算子 $|\nabla u|^\alpha(F(D^2u) + h(x) \cdot \nabla u) + \bar{\lambda} u^{1+\alpha} = 0$ の一般化された主固有値 $\bar{\lambda}$ は単純か？
• RQ4 低次の項 $h(x) \cdot \nabla u$ の追加が、境界付近における解の正則性およびコンパクト性にどのように影響するか？
• RQ5 ホルダー指数 $\beta$ の最適値は、$\alpha$、$N$、楕円型定数の関数としてどのように表されるか？

主な発見

• この論文は、粘性解について、$\|u\|_{C^{1,\beta}(\Omega)} \leq C\left(\|\phi\|_{C^{1,\beta_0}(\partial\Omega)} + \|u\|_{L^\infty(\Omega)} + \|f\|_{L^\infty(\Omega)}^{1/(1+\alpha)}\right)$ の形のグローバルな $C^{1,\beta}$ 評価を確立する。ここで $\beta$ は $\lambda, \Lambda, \|f\|_\infty, N, \Omega, \|h\|_\infty, \beta_0$ に依存する。
• ホルダー指数 $\beta$ は明示的に評価可能であり、楕円型定数 $\lambda, \Lambda$、次元 $N$、およびデータノルムに依存する。
• 著者らは、演算子 $|\nabla u|^\alpha(F(D^2u) + h(x) \cdot \nabla u) + \bar{\lambda} u^{1+\alpha} = 0$ の一般化された主固有値 $\bar{\lambda}$ が単純であることを証明した。これは、任意の正の固有関数が互いにスカラー倍であることを意味する。
• 証明は、境界にまで及ぶ $C^{1,\beta}$ 正則性に依存しており、これにより境界付近で強力な比較原理が成り立つようになり、単純性の証明が可能になる。
• 退化および低次の項を考慮した境界における平坦性向上補題を新たに導入し、Imbert と Silvestre の内部議論を境界にまで拡張した。
• 重要な技術的結果として、$a \in C^2$、$a(0) = \nabla a(0) = 0$ かつ $a$ が恒等的にゼロでないとき、$|p_n \cdot (x', a(x'))| \leq C$ を満たす列 $p_n$ が有界であることを示した。これはコンパクト性の証明に不可欠である。