[論文レビュー] ${\cal H}$-cohomologies versus algebraic cycles

Luca Barbieri-Viale|ArXiv.org|Aug 8, 1994

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 15被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、滑らかな代数的多様体に対する一般化されたコホモロジー理論として ${\cal H}$-コホモロジーを導入し、古典的な交差環（有理同値や代数的同値による定義）をポincare双対性とカップ積構造を通じて統一する。基礎的な性質として、ギジン写像、射影バンドル定理、およびブローアップ公式を確立するとともに、クイレンK理論から${\cal H}$-コホモロジーへのチャーン類の構成を行い、グロタンディークおよびジレットの枠組みを拡張する。

ABSTRACT

Global intersection theories for smooth algebraic varieties via products in {\it appropriate}\, Poincaré duality theories are obtained. We assume given a (twisted) cohomology theory $H^*$ having a cup product structure and we let consider the ${\cal H}$-cohomology functor $X\leadsto H^{\#}_{Zar}(X,{\cal H}^*)$ where ${\cal H}^*$ is the Zariski sheaf associated to $H^*$. We show that the ${\cal H}$-cohomology rings generalize the classical ``intersection rings'' obtained via rational or algebraic equivalences. Several basic properties e.g.\, Gysin maps, projection formula and projective bundle decomposition, of ${\cal H}$-cohomology are obtained. We therefore obtain, for $X$ smooth, Chern classes $c_{p,i} : K_i(X) o H^{p-i}(X,{\cal H}^p)$ from the Quillen $K$-theory to ${\cal H}$-cohomologies according with Gillet and Grothendieck. We finally obtain the ``blow-up formula'' $$H^p(X',{\cal H}^q) \cong H^p(X,{\cal H}^q)\oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z,{\cal H}^{q-1-i})$$ where $X'$ is the blow-up of $X$ smooth, along a closed smooth subset $Z$ of pure codimension $c$. Singular cohomology of associated analityc space, étale cohomology, de Rham and Deligne-Beilinson cohomologies are examples for this setting.

研究の動機と目的

• 有理同値または代数的同値による定義に基づく古典的交差環を、カップ積構造を持つコホモロジー理論によって一般化すること。
• ポincare双対性を拡張し、ギジン写像や射影バンドル分解といった標準的演算をサポートする${\cal H}$-コホモロジーの統一的枠組みを構築すること。
• クイレンK理論から${\cal H}$-コホモロジーへのチャーン類の構成を行い、グロタンディークおよびジレットの期待に一致させること。
• 例外的除集合とそのねじれを用いて、${\cal H}$-コホモロジーの明確なブローアップ公式を導出すること。
• 標準的コホモロジー理論（特異、\'etale、de Rham、デリーニュ＝ベイリソン）が、この枠組みに自然に適合することを示すこと。

提案手法

• ${\cal H}$-コホモロジーを、与えられたコホモロジー理論$H^*$のシャーベット化である${\cal H}^*$を用いて、$H^\#_{\text{Zar}}(X, {\cal H}^*)$として定義する。
• $H^*$におけるカップ積構造を用いて、${\cal H}$-コホモロジーに環構造を導入し、古典的交差環を一般化する。
• 滑らかな準同型の文脈におけるポincare双対性および相対双対性の形式的論法を用いて、ギジン写像と射影公式を確立する。
• 代数的トポロジーにおける標準的議論を代数的設定に適応することで、${\cal H}$-コホモロジーにおける射影バンドル分解定理を証明する。
• 切除と局所化の技法を用いて、$H^p(X', {\cal H}^q) \cong H^p(X, {\cal H}^q) \oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z, {\cal H}^{q-1-i})$というブローアップ公式を導出する。
• K理論の普遍性と${\cal H}$-コホモロジーにおけるチャーン指標を用いて、$c_{p,i} : K_i(X) \to H^{p-i}(X, {\cal H}^p)$を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カップ積構造を持つコホモロジー理論を、有理同値または代数的同値による定義に基づく古典的交差環を一般化するためにどのように利用できるか。
• RQ2 ギジン写像や射影バンドル定理といった、${\cal H}$-コホモロジーに拡張可能な構造的性質は何か。
• RQ3 ${\cal H}$-コホモロジーのブローアップ公式は、例外的除集合とその余次元を反映した形で導出可能か。
• RQ4 クイレンK理論から${\cal H}$-コホモロジーへのチャーン類はどのように埋め込まれるのか。また、期待される性質を満たすか。
• RQ5 特異、\'etale、de Rhamなどの標準的コホモロジー理論は、${\cal H}$-コホモロジーを定義するのに必要な公理を満たすか。

主な発見

• ${\cal H}$-コホモロジールンは、有理同値または代数的同値による定義に基づく古典的交差環を一般化し、統一的なコホモロジー的枠組みを提供する。
• 余次元$c$の滑らかな中心に沿った滑らかなブローアップに対して、$H^p(X', {\cal H}^q) \cong H^p(X, {\cal H}^q) \oplus \bigoplus_{i=0}^{c-2} H^{p-1-i}(Z, {\cal H}^{q-1-i})$というブローアップ公式が確立される。
• ギジン写像と射影公式が${\cal H}$-コホモロジーに対して構成され、代数的トポロジーの標準的ツールがこのコホモロジー的設定へ拡張される。
• 射影バンドル分解定理は${\cal H}$-コホモロジーに対して成り立ち、射影バンドルのコホモロジーが底空間上の直和に分解されることを示す。
• クイレンK理論から${\cal H}$-コホモロジーへのチャーン類$c_{p,i} : K_i(X) \to H^{p-i}(X, {\cal H}^p)$が構成され、グロタンディーク–ジレットの枠組みと整合的である。
• 関連する解析的空間の特異コホモロジー、\'etaleコホモロジー、de Rhamコホモロジー、デリーニュ–ベイリソンコホモロジーは、すべて${\cal H}$-コホモロジーを定義するのに必要な公理を満たしており、広範な適用可能性を示している。