[論文レビュー] Calabi quasimorphism and quantum homology

Michael Entov, Leonid Polterovich|ArXiv.org|May 23, 2002

Geometric and Algebraic Topology参考文献 23被引用数 41

ひとこと要約

本稿は、半単純な量子ホモロジーをもつ特定の単調シンプレクティック多様体のハミルトニアン微分同相群の普遍被覆上に、非自明な同次的クェイジモーフィズムを構成する。これは、コンパクトに台を持つハミルトニアン微分同相写像にのみ定義されるカルビ・ホモモーフィズムを、ハミルトニアン群全体へのグローバルなクェイジモーフィズムへと拡張するものである。構成には、フィルター付きフローホモロジーと量子ホモロジーからのスペクトル不変量が用いられ、そのクェイジモーフィズムが、非交差な開集合に台を持つコンパクトなハミルトニアンに対してカルビ・インバリアントと一致することを証明する。

ABSTRACT

We prove that the group of area-preserving diffeomorphisms of the 2-sphere admits a non-trivial homogeneous quasimorphism to the real numbers with the following property. Its value on any diffeomorphism supported in a sufficiently small open subset of the sphere equals to the Calabi invariant of the diffeomorphism. This result extends to more general symplectic manifolds: If the symplectic manifold is monotone and its quantum homology algebra is semi-simple we construct a similar quasimorphism on the universal cover of the group of Hamiltonian diffeomorphisms.

研究の動機と目的

• コンパクトに台を持つハミルトニアン微分同相写像にのみ定義されるカルビ・ホモモーフィズムを、ハミルトニアン微分同相群全体へのグローバルなクェイジモーフィズムへと拡張すること。
• 単調シンプレクティック多様体で量子ホモロジーが半単純であるような場合に、$ \widetilde{\mathrm{Ham}}(M) $ 上に非自明な同次的クェイジモーフィズムが存在することを確立すること。
• このようなクェイジモーフィズムが、非交差で正確な開集合に台を持つ微分同相写像においてカルビ・インバリアントと一致することを示すこと。
• クェイジモーフィズムを、共役ノルムやフラグメンテーション性質といったシンプレクティックトポロジーの問題に応用すること。
• シンプレクティック埋め込みを用いて、ドメインやアニュラスなどの開いたシンプレクティック多様体上で、パrameter $ \epsilon $ でパrameter化された線形独立なカルビ・クェイジモーフィズムの連続体を構成すること。

提案手法

• フィルター付きフローホモロジーからのスペクトル不変量を定義し、ポincare双対性を用いて量子ホモロジー代数と同定する。
• スペクトル不変量を用いて、ハミルトニアン群の普遍被覆 $ \widetilde{G} $ 上にクェイジモーフィズム $ r $ を定義し、連続性および有限性の性質を活用する。
• 非アーケリメートィアン幾何学的補題を用いてクェイジモーフィズム条件における誤差を制御し、同次性を証明する。
• 同次化を用いて $ r $ からカルビ・クェイジモーフィズム $ \tilde{\mu} $ を構成し、小スケールの台を持つ場合にカルビ・インバリアントと一致することを保証する。
• $ S^2 $ 上のハミルトニアンファイブレーションにおけるシードル作用を用いて、$ \pi_1(G) $ の元におけるクェイジモーフィズムの値を計算し、グローバー・ウィッテン不変量と関連付ける。
• 開いた多様体（ドメインおよびアニュラス）を $ S^2 $ に埋め込み、クェイジモーフィズムを引き戻して、パrameter $ \epsilon $ でパrameter化された線形独立なクェイジモーフィズムの族を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトに台を持つハミルトニアン微分同相写像に定義されるカルビ・ホモモーフィズムは、ハミルトニアン群全体へのグローバルなクェイジモーフィズムへと拡張可能か？
• RQ2 シンプレクティック多様体 $ M $ がどのような条件下に、小スケールの台を持つ場合にカルビ・インバリアントに制限される非自明な同次的クェイジモーフィズムを $ \widetilde{\mathrm{Ham}}(M) $ 上に持つか？
• RQ3 フィルター付きフローホモロジーにおけるスペクトル不変量とカルビ・インバリアントの関係は何か？
• RQ4 どのようにして、開いたシンプレクティック多様体上に連続する線形独立なカルビ・クェイジモーフィズムの連続体を構成できるか？
• RQ5 量子ホモロジー代数の半単純性は、このようなクェイジモーフィズムの存在にどのような役割を果たすか？

主な発見

• 非自明な同次的クェイジモーフィズム $ \tilde{\mu} $ が $ \widetilde{\mathrm{Ham}}(S^2) $ 上に構成され、これは任意の非交差な開集合に台を持つ微分同相写像においてカルビ・インバリアントと一致する。
• $ M = S^2 $, $ S^2 \times S^2 $, $ \mathbb{C}P^2 $, および $ \mathbb{C}P^2 $ の一点へのブローモップについて、量子ホモロジー代数が半単純であれば、そのようなカルビ・クェイジモーフィズムが存在する。
• クェイジモーフィズム $ \tilde{\mu} $ は、ハミルトニアン微分同相写像の $ C^0 $-位相に関して連続である。
• 2次元球面では、自己同相的ハミルトニアン $ F $ に対して、$ \mu(\psi_F) = -\bar{F}(x_0) $ が成り立ち、ここで $ x_0 $ は $ F $ の測度付きリーブツリーの中央値である。
• アニュラスおよびドメインでは、$ S^2 $ へのシンプレクティック埋め込みを用いて、パrameter $ \epsilon $ でパrameter化された線形独立なカルビ・クェイジモーフィズムの1パラメータ族が構成される。
• アニュラス上ではクェイジモーフィズム $ \mu_{\epsilon} $ に対して $ \mu_{\epsilon}(\psi_H) = \mathrm{Cal}_M(\psi_H) - H(\epsilon) $ が成り立ち、ドメイン上では $ \mu_{\epsilon}(\psi_H) = \mathrm{Cal}_M(\psi_H) - \epsilon^{-1} H(\epsilon^{-1}/2) $ が成り立ち、線形独立性が証明される。