[論文レビュー] Calabi-Yau construction by smoothing normal crossing varieties

Nam‐Hoon Lee|ArXiv.org|Apr 27, 2006

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、クレメンス＝シュミッド完全系列に基づくコhomological枠組みを用いて、正則交差多様体の滑らか化によって得られるCalabi–Yau 3-foldのPicard群およびチャーン類を計算する手法を開発する。この手法により、Picard数1のCalabi–Yau 3-foldを7つ新たに構成し、既知の族との非滑らかで射影的かつ平坦な変形で接続可能であることを示した。これにより、トーリック構成を超えた、このような多様体の分類が拡張された。

ABSTRACT

We investigate a method of construction of Calabi--Yau manifolds, that is, by smoothing normal crossing varieties. We develop some theories for calculating the Picard groups of the Calabi--Yau manifolds obtained in this method. Some applications are included, such as construction of new examples of Calabi--Yau 3-folds with Picard number one with some interesting properties.

研究の動機と目的

• 正則交差多様体の滑らか化によって得られるCalabi–Yau多様体のPicard群およびチャーン類を体系的に計算するための手法を開発すること。
• 標準的なトーリック完備交差構成を超えて、このようなCalabi–Yau多様体の位相的・幾何的性質を特徴づけること。
• Picard数1の新しいCalabi–Yau 3-foldの例を構成し、それらが既知の例とどのような変形関係にあるかを特定すること。
• 半安定退化における中心特異部のコホモロジーと一般特異部のコホモロジーの関係を明確にすること。

提案手法

• カワマタとナミカワの滑らか化定理を適用し、自明な正則標準束をもつ正則交差多様体からCalabi–Yau多様体を構成する。
• クレメンス＝シュミッド完全系列を用いて、一般特異部の2次整数コホモロジーを成分およびその交線のコホモロジーと関連付ける。
• 二重部分集合に沿った対角関係をmoduloした、成分のPicard群のファイバー積として、滑らかなCalabi–Yau多様体のPicard群を導出する。
• 一般特異部の2次チャーン類と成分の2次チャーン類の和との間の対応関係を用いてチャーン類を計算する。
• 得られるCalabi–Yau多様体がPicard数1をとるための条件を特定し、それらを特定のファノ3次元多様体対に適用する。
• 変形理論を用いて、同一な不変量を持つ特定のCalabi–Yau 3-foldが同じヒルベルトスキームに属し、非滑らかで射影的かつ平坦な変形で接続可能であることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正則交差多様体の滑らか化によって得られるCalabi–Yau多様体のPicard群をどのように計算できるか。
• RQ2 得られるCalabi–Yau多様体がPicard数1をとるための条件は何か。
• RQ3 この滑らか化手法により、Picard数1の新しいCalabi–Yau 3-foldの例を構成可能か。
• RQ4 得られるCalabi–Yau多様体の位相的不変量（例：ρ³, ρ·c₂, h¹²）は、成分のそれらとどのように関係しているか。
• RQ5 Picard数1の新たに構成されたCalabi–Yau 3-foldは、既知の例と変形同値か。

主な発見

• Picard数1のCalabi–Yau 3-foldを7つ新たに構成し、不変量として(ρ³=44, ρ·c₂=92, h¹²=68,66,64)および(ρ³=15, ρ·c₂=66, h¹²=75)、(ρ³=8, ρ·c₂=56, h¹²=88,60)、(ρ³=5, ρ·c₂=50, h¹²=92)を有する。
• 滑らかなCalabi–Yau多様体のPicard群は、二重部分集合に沿った対角関係をmoduloした、成分のPicard群のファイバー積と同型である（ torsion を除いて）。
• Calabi–Yau多様体の2次チャーン類は、同型のもとで成分の2次チャーン類の和に対応する。
• 同一な不変量(ρ³, ρ·c₂)を持つ構成済みCalabi–Yau 3-foldは、非滑らかで射影的かつ平坦な変形で接続可能であり、同じヒルベルトスキームに属する。
• これらの例は、複数の異なるファミリーのCalabi–Yau 3-foldが同じ位相的オイラー数を持つ可能性を示しており、オイラー数のみによる分類の独自性に疑問を呈する。
• この手法により、5次超曲面とℙ⁵における2次と4次超曲面の完備交差が、同様の不変量を持つ非トーリックCalabi–Yau 3-foldと変形同値であることが確認された。