[論文レビュー] Calcul d'une valeur d'un facteur epsilon par une formule intégrale

Jean-Loup Waldspurger|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2009

Advanced Numerical Analysis Techniques参考文献 2被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、$p$-進体 $F$ 上の $GL_d(F)$ と $GL_m(F)$ のテンパードで自己双対な表現のペアに関連する $\varepsilon$-因子を、幾何的・スペクトル的トレース公式の技法を用いて積分公式で計算するものである。主な結果として、非連結群 $G \rtimes \{1, \theta_d\}$ のためのねじれトレース公式の幾何的側とスペクトル的側が等しいことを証明し、エンドスコピック転送を介して局所的 Gross-Prasad 猜定を確認する。

ABSTRACT

Let d and m be two natural numbers of distinct parities. Let $π$ be an admissible irreducible tempered representation of GL(d,F), where F is a p-adic field. We assume that $π$ is self-dual. Then we can extend $π$ as a representation $ ildeπ$ of a non-connected group $GL(d,F) times \{1,θ\}$. Let $ρ$ be a representation of GL(m,F). We assume that it has similar properties as $π$. Jacquet, Piatetski-Shapiro and Shalika have defined the factor $ε(s,π imesρ,ψ)$. We prove that we can compute $ε(1/2,π imesρ,ψ)$ by an integral formula where occur the characters of $ ildeπ$ and $ ildeρ$. It's similar to the formula which, for special orthogonal groups, computes the multiplicities appearing in the local Gross-Prasad conjecture.

研究の動機と目的

• テンパードで自己双対な $GL_d(F)$ と $GL_m(F)$ の表現 $\tilde{\pi}$, $\tilde{\rho}$ のペアに関連する $\varepsilon$-因子 $\varepsilon_{\nu}(\tilde{\pi},\tilde{\rho})$ の積分公式を確立すること。
• 幾何的側とスペクトル的側が一致するねじれトレース公式の等式を示すことにより、テンパード表現に対する局所的 Gross-Prasad 猜定を証明すること。
• 以前の多重性1の定理およびねじれエンドスコピック転送に関する結果を、自己双対的でテンパードな表現の状況に拡張すること。
• エンドスコピック転送と Whittaker モデル理論と両立する $\varepsilon$-因子の公式を提供すること。

提案手法

• 本稿は、$G = GL_d(F)$ および $\theta_d(g) = J_d {}^t g^{-1} J_d^{-1}$ である非連結群 $\tilde{G} = G \rtimes \{1, \theta_d\}$ のためのねじれトレース公式を用いる。
• 各楕円的軌道 $\mathcal{O}$ に対して、幾何的側 $I_{\text{geom}}(\tilde{G}, \mathcal{O})$ とスペクトル的側 $I_{\text{spec}}(\tilde{G}, \mathcal{O})$ を定義する。
• スペクトル的側は、レヴィ部分群からの誘導キャラクターの和として表現され、Whittaker モデルと表現の中心的特徴に依存する。
• 幾何的側は、軌道積分と特性分布を用いて計算され、$\zeta \in \mathcal{A}_{\tilde{L},F}$ でインデックス付けされた成分への $\Theta_{\mathcal{O}}$ の分解を用いる。
• 重要なステップとして、積分への寄与が $\zeta = 0$ のみで非ゼロであることが示され、問題が低ランクの場合に還元される。
• トレース公式がエンドスコピック転送と両立することと、$\varepsilon$-因子がワイル群作用に関して不変であることを用いて、ランクに関する帰納法で証明を進める。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テンパードで自己双対な $GL_d(F)$ と $GL_m(F)$ の表現に対する $\varepsilon$-因子 $\varepsilon_{\nu}(\tilde{\pi}, \tilde{\rho})$ は、積分公式で計算可能か？
• RQ2 ねじれトレース公式の幾何的側とスペクトル的側の等式は、テンパード表現に対する局所的 Gross-Prasad 猜定を示唆するか？
• RQ3 ねじれ群の文脈において、表現のエンドスコピック転送と $\varepsilon$-因子の関係は何か？
• RQ4 非連結群 $\tilde{G} = G \rtimes \{1, \theta_d\}$ は、トレース公式技法を用いた $\varepsilon$-因子の計算において果たす役割は何か？

主な発見

• 非連結群 $\tilde{G} = G \rtimes \{1, \theta_d\}$ のためのねじれトレース公式において、すべての楕円的軌道 $\mathcal{O}$ に対して幾何的側とスペクトル的側が等しい：$I_{\text{geom}}(\tilde{G}, \mathcal{O}) = I_{\text{spec}}(\tilde{G}, \mathcal{O})$。
• $\varepsilon$-因子 $\varepsilon_{\nu}(\tilde{\pi}, \tilde{\rho})$ は、ねじれ共役類の和として計算され、非ゼロ寄与は $\zeta = 0$ の成分からのみ生じる。
• 証明により $\varepsilon_{\text{geom},\nu}(\tilde{\pi}, \tilde{\rho}) = \varepsilon_{\nu}(\tilde{\pi}, \tilde{\rho})$ が示され、$\varepsilon$-因子の予想される公式が確認される。
• この結果は、線形群へのエンドスコピック転送を介して、テンパードで自己双対な表現に対する局所的 Gross-Prasad 猜定が成立することを示唆する。
• 公式は Whittaker モデルと中心的特徴と両立しており、$\varepsilon$-因子が $\pm 1$ でない第四根の単位根であることが示された。