[論文レビュー] Calculating Determinants of Block Matrices

Philip D. Powell|arXiv (Cornell University)|Dec 16, 2011

Scientific Research and Discoveries参考文献 7被引用数 53

ひとこと要約

本稿では、一般化されたシュール補完を用いて、$N\times N$ ブロック行列の行列式を再帰的に、$N$ 個のより小さな変換済みブロックの行列式の積に還元することにより、行列式を計算する新規な手法を提示する。この手法により、クォーク物質のような物理的に動機づけられた大規模な行列（例：$48\times 48$ 行列）を、インデックスを体系的に消去することで解析的に評価でき、既知の結果と一致する正確な固有エネルギーが得られる。

ABSTRACT

This paper presents a method for expressing the determinant of an N { imes} N complex block matrix in terms of its constituent blocks. The result allows one to reduce the determinant of a matrix with N^2 blocks to the product of the determinants of N distinct combinations of single blocks. This procedure proves useful in the analytic description of physical systems with multiple discrete variables, as it provides a systematic method for evaluating determinants which might otherwise be analytically intractable.

研究の動機と目的

• サイズ $n\times n$ のブロックを $N^2$ 個有する $N\times N$ ブロック行列の行列式を計算する一般化された手法を開発すること。これにより、解析的に扱いにくい系を簡略化する。
• 標準的な $2\times 2$ ブロック行列式の公式の限界を克服すること。この公式はインデックスを非対称に扱い、対称な物理的分割に不適切である。
• 大きなブロック行列の行列式を、より小さな変換済みブロックの行列式の積に還元する体系的で再帰的な手順を提供すること。
• クォーク物質のような複雑な物理系（例：高密度クォーク物質）において、複数の離散的インデックス（例：色、フレーバー、ディラック）が非自明に結合する場合に、行列式の正確な解析的計算を可能にすること。

提案手法

• 下三角行列の補助行列を用いた再帰的変換により、対角成分以下のブロックをゼロにし、行列式の値を保存する。
• 各ステップ $k$ において、一般化されたシュール補完を用いてブロックを更新する：$\bm{\alpha}^{(k)}_{ij} = \mathbf{S}_{ij} - \bm{\sigma}^{T}_{i,N-k+1}\tilde{\mathbf{S}}^{-1}_{k}\mathbf{s}_{N-k+1,j}$、ここで $\mathbf{s}_{ij}$ および $\bm{\sigma}^{T}_{ij}$ は元の行列からのブロックのベクトルである。
• 繰り返し、ブロック行列の最後の行と列を消去することで、行列サイズを1ブロックずつ小さくし、最終的に1つのブロックが残るまで繰り返す。
• 最終的な行列式は、$N$ 個の得られたブロック $\bm{\alpha}^{(N-k)}_{kk}$ の行列式の積として与えられ、最後のブロックは元の $\mathbf{S}_{NN}$ に等しい。
• 中間のブロックが可逆であると仮定するが、これは連続変数に依存する行列に対して一般に成立し、特異点は孤立的で測度ゼロである。
• この手順はクォーク物質からの $48\times 48$ 行列で検証され、インデックスを減らし、正確な固有エネルギーが得られた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の $N\times N$ ブロック行列の行列式は、より小さな変換済みブロックの行列式の積として表現可能か？
• RQ2 標準的な $2\times 2$ ブロック行列式の公式を、対称的で多次元インデックスを持つ物理系を扱えるように一般化できるか？
• RQ3 この手法により、複数の離散的インデックスを持つ高密度クォーク物質に由来する $48\times 48$ 行列の行列式を解析的に簡略化できるか？
• RQ4 このような簡略化を可能にする再帰的シュール補完変換の構造は何か？

主な発見

• 行列式は $\det(\mathbf{S}) = \prod_{k=1}^{N} \det(\bm{\alpha}^{(N-k)}_{kk})$ で与えられ、ここで $\bm{\alpha}^{(k)}$ ブロックは一般化されたシュール補完を用いて再帰的に定義される。
• サイズ $N=6$ ブロック（各 $8\times 8$）を持つ $48\times 48$ 行列に対して、この手法により色や他の量子数を消去し、ディラックおよびフレーバーインデックスでのみの行列式計算に還元された。
• 最終的な行列式の式は $\det(\mathbf{S}) = \left[E+\sqrt{(E_k+\mu)^2+|\Delta|^2}\right]^8 \left[E+\sqrt{(E_k-\mu)^2+|\Delta|^2}\right]^8 \times \left[E-\sqrt{(E_k+\mu)^2+|\Delta|^2}\right]^8 \left[E-\sqrt{(E_k-\mu)^2+|\Delta|^2}\right]^8 \times (E+E_k+\mu)^4(E-E_k-\mu)^4(E+E_k-\mu)^4(E-E_k+\mu)^4$ である。
• 行列式 $\det(\mathbf{S}) = 0$ から得られる固有エネルギーは $E_1 = |E_k + \mu|$（縮退度8）、$E_2 = |E_k - \mu|$（縮退度8）、$E_3 = \sqrt{(E_k+\mu)^2 + |\Delta|^2}$（縮退度16）、$E_4 = \sqrt{(E_k-\mu)^2 + |\Delta|^2}$（縮退度16）であり、既知の結果と一致する。
• この手法により、元の48インデックスのうち6つが体系的に消去され、ディラックおよびフレーバー自由度でのみの扱いやすい行列式に簡略化された。