[論文レビュー] Calculating Ramsey numbers by partitioning coloured graphs

Alexey Pokrovskiy|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2013

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、2色に塗り分けられた完全グラフに対する新しい分割定理を導入し、頂点がk個の互いに素な赤色パスと青色のバランスの取れた(k+1)部完全グラフで被覆可能であることを証明する。この結果を用いて、パスとバランスの取れた完全k部グラフ、およびパスとパスのk乗グラフの間の正確なラマージ数を特定し、Allen、Brightwell、Skokanによる予想を解決する。

ABSTRACT

In this paper we prove a new result about partitioning coloured complete graphs and use it to determine certain Ramsey numbers exactly. The partitioning theorem we prove is that for k at least 1, in every edge colouring of a complete graph with the colours red and blue, it is possible to cover all the vertices with k disjoint red paths and a disjoint blue balanced complete (k+1)-partite graph. When the colouring is connected in red, we prove a stronger result - that it is possible to cover all the vertices with k red paths and a blue balanced complete (k+2)-partite graph. Using these results we determine the Ramsey number of a path on n vertices, versus a balanced complete k-partite graph, with m vertices in each part, whenever m-1 is divisible by n-1. This generalizes a result of Erdos who proved the m=1 case of this result. We also determine the Ramsey number of a path on n vertices versus the power of a path on n vertices. This solves a conjecture of Allen, Brightwell, and Skokan.

研究の動機と目的

• 2色に塗り分けられた完全グラフに対する新しい構造的分割定理を構築し、ラマージ数の正確な計算を可能にする。
• Allen、Brightwell、Skokanによるパスとパスのk乗グラフのラマージ数に関する予想を解決する。
• Erdősのパスのラマージ数に関する結果を、バランスの取れた完全マルチパーティグラフのケースに一般化する。
• 単色パスおよび部分グラフ被覆技法の適用範囲を、より複雑なグラフ族へ拡張する。

提案手法

• 任意の$K_n$の2色塗り分けにおいて、頂点がk個の互いに素な赤色パスと青色のバランスの取れた(k+1)部完全グラフで被覆可能であることを証明する。
• 赤グラフが連結である場合に強い結果を得る：頂点はk個の赤色パスと青色のバランスの取れた(k+2)部完全グラフで被覆可能である。
• 分割定理を用いて、極値の色分けを構築することで、ラマージ数のタイトな上限と下限を導出する。
• 分割定理を応用し、$m \equiv 1 \pmod{n-1}$ のとき、$R(P_n, K_m^t)$ の正確なラマージ数を計算する。その結果、$R(P_n, K_m^t) = (t-1)(n-1) + t(m-1) + 1$ が得られる。
• また、$R(P_n, P_n^t) = t(n-1) + \left\lfloor \frac{n}{t+1} \right\rfloor$ を証明し、Allen、Brightwell、Skokanによる予想を確認する。
• パスおよび完全マルチパーティグラフの構造的性質を活用し、極値構成によって導かれた境界がタイトであることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 m \equiv 1 \pmod{n-1} のとき、正確なラマージ数$R(P_n, K_m^t)$は何か？
• RQ2 Allen、Brightwell、Skokanによる$R(P_n, P_n^t)$に関する予想は、構造的分割技法を用いて証明可能か？
• RQ3 2色に塗り分けられた完全グラフにおける単色部分グラフの構造は、パスに類似したグラフのラマージ数にどのような制約をもたらすか？
• RQ4 パスおよび完全マルチパーティグラフを含む分割定理は、他のグラフ族へどの程度一般化可能か？
• RQ5 すべての連結グラフ$G$および$|G| \geq \chi(H)|H|$ を満たすグラフ$H$に対して、$R(G,H) \geq (\chi(H)-1)(|G|-1) + \sigma(H)$ が等号で成り立つか？

主な発見

• m \equiv 1 \pmod{n-1} のとき、ラマージ数$R(P_n, K_m^t)$は正確に$(t-1)(n-1) + t(m-1) + 1$ に等しく、Erdősの結果（m=1のとき）を一般化する。
• ラマージ数$R(P_n, P_n^t) = t(n-1) + \left\lfloor \frac{n}{t+1} \right\rfloor$ が成り立ち、Allen、Brightwell、Skokanによる予想が確認された。
• 新しい分割定理により、任意の$K_n$の2色塗り分けにおいて、頂点集合が$k$個の互いに素な赤色パスと青色のバランスの取れた$(k+1)$部完全グラフで被覆可能であることが示された。
• 赤グラフが連結である場合、頂点集合は$k$個の赤色パスと青色のバランスの取れた$(k+2)$部完全グラフで被覆可能であり、分割結果が強化された。
• ラマージ数$R(P_n, K_m^t)$の下限を示すために用いられた極値構成は、分割定理から導かれた上限と一致し、境界のタイトさが証明された。
• 結果として、$G = P_n$ および $H = P_n^t$ の場合に、$R(G,H) \geq (\chi(H)-1)(|G|-1) + \sigma(H)$ が等号で成り立つことが示され、より広範な等号成立条件に関する予想を支持する。