[論文レビュー] Calculating Shadows with U-Nets for Urban Environments (Short Paper)

Luciano da Fontoura Costa, Welscher, Franz+6 more|arXiv (Cornell University)|Oct 18, 2021

Computational Drug Discovery Methods被引用数 102

ひとこと要約

本稿では、集合、連続領域、密度、スカラー場を含む多様な数学的構造における類似度の定量化を向上させるために、ジャッカード係数の新しい一般化を提案する。類似度の stricter 評価のため、ジャッカード係数と内部性係数を組み合わせた一致指数を導入し、多重集合、関数、多次元依存性へと拡張する。応用分野にはモデリング、パターン認識、ネットワーク解析が含まれる。

ABSTRACT

Quantifying the similarity between two mathematical structures or datasets constitutes a particularly interesting and useful operation in several theoretical and applied problems. Aimed at this specific objective, the Jaccard index has been extensively used in the most diverse types of problems, also motivating some respective generalizations. The present work addresses further generalizations of this index, including its modification into a coincidence index capable of accounting also for the level of relative interiority between the two compared entities, as well as respective extensions for sets in continuous vector spaces, the generalization to multiset addition, densities and generic scalar fields, as well as a means to quantify the joint interdependence between two random variables. The also interesting possibility to take into account more than two sets has also been addressed, including the description of an index capable of quantifying the level of chaining between three structures. Several of the described and suggested eneralizations have been illustrated with respect to numeric case examples. It is also posited that these indices can play an important role while analyzing and integrating datasets in modeling approaches and pattern recognition activities, including as a measurement of clusters similarity or separation and as a resource for representing and analyzing complex networks.

研究の動機と目的

• 標準ジャッカード係数が、1つの集合が他方の集合にどの程度包含されているかを捉える能力に限界を示す問題に対処すること。
• 領域面積と積分に基づく定式化を用いて、連続的集合、密度、スカラー場へのジャッカード係数の拡張。
• 正負の値をとる多重集合および関数へのジャッカード係数の一般化。
• 類似度インデックスと確率変数の同時依存性との関係の解明。
• 複数の実体間の構造的関係を定量化するための3セットチェインインデックスの開発。

提案手法

• 集合の包含度を定量化する内部性係数（重なり係数）を導入し、それをジャッカード係数と平方根で結合して一致指数を構成。
• 集合の基数を領域面積に置き換えることで、ジャッカード係数を連続的集合に適応させ、幾何的・空間的データへの応用を可能にする。
• 連続的領域における最小（交差）および最大（和集合）演算の積分を用いて、多重集合および実数値関数へのインデックスの拡張。
• 一般化されたジャッカード係数および一致インデックスを、確率密度関数、正弦関数、実世界の画像の比較に適用。
• 1つの集合をブリッジとして用い、中間の集合と他の2つの集合との交差の和集合との間のジャッカード類似度を計算することで、3つの集合に対するチェインインデックスを提案。
• 散布図を用いて、恒等線を基準としてジャッカード係数、内部性係数、一致インデックスの挙動を可視化。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ジャッカード係数は、重なりだけでなく、1つの集合が他方の集合にどの程度相対的に内部にあるのかも反映できるように、どのように改善できるか？
• RQ2 ジャッカード係数は、確率密度関数や画像強度のような連続的集合およびスカラー場へ一般化可能か？
• RQ3 ジャッカード係数および一致インデックスは、2つの確率変数の同時依存性をどの程度定量化できるか？
• RQ4 類似度インデックスは、2つを超える集合を扱うために、特に構造的チェインの観点からどのように拡張可能か？
• RQ5 データモデリングおよびパターン認識において、標準ジャッカード係数に比べて一致インデックスが有する計算的および概念的利点は何か？

主な発見

• ジャッカード係数と内部性係数の積の平方根として定義される一致インデックスは、ジャッカード係数単体よりもより選択的かつ厳密な類似度測定を提供する。
• 連続的集合では、集合の基数を領域面積に置き換えることで、ジャッカード係数および一致インデックスを直接適用可能とし、幾何的・空間的文脈における類似度の定量化を可能にする。
• 多重集合およびスカラー場への一般化されたジャッカードインデックスは、連続的領域における最小および最大演算の積分を用いることで、正弦波関数や実世界の画像の比較を可能にする。
• 一致インデックスは、非正規化で符号付き関数（例：コサイン関数とサイン関数）の比較に対しても成功裏に適用され、非負のデータに限らない強健性を示した。
• 3つの集合に対するチェインインデックス、すなわち J(B, (A∩B) ∪(B∩C)) × (1 − J(A,C)) は、特定の例において 6/7 の値を示し、A、B、C 間の強い構造的連結性を示した。
• 本稿では、ジャッカード係数や一致インデックスが、確率変数間の同時変動を定量化するために用いられ、特定の文脈ではピアソン相関係数の代替手段として有効であることが示された。