[論文レビュー] Calculating the algebraic entropy of mappings with unconfined singularities

A. Ramani, B. Grammaticos+3 more|arXiv (Cornell University)|Nov 25, 2017

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 18被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、特異性パターンから有限の再帰関係を導出し、それを無限級数に拡張することにより、非confined（非束縛）特異性を有する有理写像の代数的エントロピー（動的次数を介して）を計算する手法を提示する。このアプローチは、これらの級数から得られる特性方程式の最大固有値を用いて動的次数を特定し、線形化可能な写像に対してはゼロエントロピーを正しく得るとともに、非可積分な場合の非可積分性を確認する。

ABSTRACT

We present a method for calculating the dynamical degree of a mapping with unconfined singularities. It is based on a method introduced by Halburd for the computation of the growth of the iterates of a rational mapping with confined singularities. In particular, we show through several examples how simple calculations, based on the singularity patterns of the mapping, allow one to obtain the exact value of the dynamical degree for nonintegrable mappings that do not possess the singularity confinement property. We also study linearisable mappings with unconfined singularities to show that in this case our method indeed yields zero algebraic entropy.

研究の動機と目的

• 特異性収束性を有さない有理写像の代数的エントロピーを体系的に計算するための手法を開発すること。
• 元来特異性収束性に限定されていたHalburdの手法を、非束縛特異性を有する写像へと拡張すること。
• 非束縛特異性パターンから導かれる無限級数から、動的次数を抽出できることを示すこと。
• 非可積分な写像および非束縛特異性を有する線形化可能な写像の両方に対して、この手法を検証すること。
• 完全な代数幾何的解析を要せず、特異性構造と代数的エントロピーの関係を確立すること。

提案手法

• 写像による一般値の前像の個数に基づいて、特異性パターン構造を用いて有限の再帰関係を構築する。
• 最大固有値が1より大きいと仮定することで、これらの再帰関係を無限級数に拡張し、再び和を取ることが可能になる。
• 動的次数は、無限級数から得られる特性方程式の最大固有値として特定される。
• 線形化可能な写像では、最大固有値が>1と仮定すると矛盾が生じるため、動的次数が1でなければならないことが示される。
• 特に反対称特異性（anticonfined singularities）を分析する際、前向きおよび後ろ向きの反復パターンの両方に適用可能である。
• 0や∞のような値の前像数の増加を用いて、次数増加の再帰関係を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 完全な代数幾何的解析を要せず、非束縛特異性を有する写像の代数的エントロピーを計算できるか？
• RQ2 非束縛状況下でも、特異性パターン構造そのものが動的次数を特定するのに十分か？
• RQ3 この手法は、非可積分（正のエントロピー）と可積分（ゼロエントロピー）の両方の非束縛特異性を有する写像を区別できるか？
• RQ4 反対称パターンからの増加は、写像の真の次数増加とどのように関係するか？
• RQ5 一般に非束縛特異性を有する線形化可能な写像に対しても、この手法は十分に頑健で、正しい結果を導けるか？

主な発見

• 非可積分な写像に対して、特異性パターンから導かれる無限級数の特性方程式の最大固有値を分析することで、正確な動的次数が得られる。
• 反対称特異性では、パターンからの増加が、完全な次数増加と正確に一致する。これは、前向き写像では下界しか得られないのとは対照的である。
• 線形化可能な写像に対しては、動的次数が>1と仮定すると矛盾が生じることを示すことで、ゼロ代数的エントロピーを正しく特定する。
• 研究事例では、動的次数が特性方程式 λ² − qλ − 1 = 0 の最大固有値として得られ、qは特異性パターンの係数に関連する。
• 非束縛特異性が存在しても、次数増加が指数的でなければ、可積分性が保たれることを確認する。
• 完全な代数幾何的解析を要せず、特異性パターン解析のみで正確な結果が得られる実用的な代替手法を提供する。