[論文レビュー] Calculating the linear response functions of non-interacting electrons by the time-dependent Schroedinger equation

Toshiaki Iitaka, Shintaro Nomura+4 more|arXiv (Cornell University)|Mar 26, 1997

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 3被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、任意のポテンシャル下での非相互作用電子の線形応答関数を計算するため、空間的に離散化された時間に依存するシュレーディンガー方程式を数値的に解くO(N)アルゴリズムを提示する。行列の対角化を回避し、大きな状態ベクトルを外部メモリに保存する必要を排除することで、数千原子規模の系に対しても効率的かつスケーラブルな計算が可能となり、従来の手法と比較して計算コストを顕著に低減する。

ABSTRACT

An O(N) algorithm is proposed for calculating linear response functions of non-interacting electrons in arbitray potential. This algorithm is based on numerical solution of the time-dependent Schroedinger equation discretized in space, and suitable to parallel- and vector- computation. Since it avoids O(N^3) computational effort of matrix diagonalization, it requires only O(N) computational effort where N is the dimension of the statevector. This O(N) algorithm is very effective for systems consisting of thousands of atoms, since otherwise we have to calculate large number of eigenstates, i.e., the occupied one-electron states up to the Fermi energy and the unoccupied states with higher energy. The advantage of this method compared to the Chebyshev polynomial method recently developed by Wang (L.W. Wang, Phys. Rev. B49, 10154 (1994);L.W. Wang, Phys. Rev. Lett. 73, 1039 (1994)) is that our method can calculate linear response functions without any storage of huge statevectors on external storage. Therefore it can treat much larger systems.

研究の動機と目的

• 任意のポテンシャル下での非相互作用電子の線形応答関数を計算するための、計算的に効率的な手法の開発。
• 大規模系において、従来の固有値対角化手法のO(N³)スケーリングを克服すること。
• 外部メモリに大きな状態ベクトルを保存する必要を排除することで、より大きな系の取り扱いを可能にすること。
• 線形応答計算に適した数値的に安定で、並列計算およびベクトル計算に好適なアプローチの提供。

提案手法

• 空間的離散化の後、時間に依存するシュレーディンガー方程式を数値的に解き、大きなハミルトニアン行列の直接対角化を回避する。
• 時間ステップによる積分スキームを用いて、摂動場の下での波動関数の時間発展を計算し、直接的に応答関数を算出可能にする。
• 固有状態の分解を回避することで、状態ベクトルの次元Nに対してO(N)の計算複雑性を達成する。
• 時間発展演算子の局所的更新の性質から、並列計算およびベクトル化計算に inherently 適している。
• すべての占有状態および空孔状態を保存する必要がなく、メモリオーバーヘッドを低減する。
• 時間発展演算子の構造を活用することで、動的応答特性を効率的に抽出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 行列の対角化を回避することで、非相互作用電子の線形応答関数を効率的に計算できるか？
• RQ2 大規模系において、従来の手法のO(N³)スケーリングをどのように克服できるか？
• RQ3 外部メモリに大きな状態ベクトルを保存せずに応答計算を実行できるか？
• RQ4 既存の手法と比較して、時間に依存するシュレーディンガー方程式を応答関数に適用する際の計算およびメモリ効率はどの程度か？
• RQ5 この手法は、数千原子規模の系にどの程度スケーリング可能か？

主な発見

• 提案手法はO(N)の計算複雑性を達成し、標準的な対角化手法のO(N³)スケーリングと比較して、計算コストを顕著に低減する。
• 大きな状態ベクトルの保存を回避することで、数千原子規模の系の計算が可能になる。
• 波動関数を外部記憶装置に保存する必要がなくなるため、従来の手法よりもはるかに大きな系の取り扱いが可能になる。
• 並列計算およびベクトル化計算環境に非常に適しており、計算スループットが向上する。
• フェルミ準位までのすべての固有状態を明示的に計算する必要がなく、正確な線形応答関数が得られる。
• チエビシェフ多項式法と比較して、中間状態ベクトルの保存に起因するメモリバッファの問題を回避する。