[論文レビュー] Calculation of Coefficients of the Optimal Quadrature Formulas in the $W_2^{m,m-1}(0,1)$ Space

Kh. M. Shadimetov, A.R. Hayotov|ArXiv.org|Oct 30, 2008

Material Science and Thermodynamics被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、Sobolevのアルゴリズムを用いて、数値積分のための最適な求積公式を、Sobolev空間 $W_2^{(m,m-1)}(0,1)$ において構築する。$m=1,2$ の場合、積分 $∫_0^1 \varphi(x)dx \approx \sum_{\beta=0}^N C_\beta \varphi(x_\beta)$ の最適係数 $C_\beta$ に対して明示的な公式を導出する。この公式は、次数 $m-2$ までの多項式および関数 $e^{-x}$ に対して正確に成立し、ステップサイズ $h=1/N$ と特徴方程式の根を用いた $C_0$ および $C_N$ の閉形式表現を備える。

ABSTRACT

In this paper problem of construction of optimal quadrature formulas in $W_2^{(m,m-1)}(0,1)$ space is considered. Here by using Sobolev's algorithm when $m=1,2$ we find the optimal coefficients of the quadrature formulas of the form $$ \int\limits_0^1ϕ(x)dx\cong \sum\limits_{β=0}^NC_βϕ(x_β). $$

研究の動機と目的

• 高精度な数値積分を目的とした、ヒルベルト空間 $W_2^{(m,m-1)}(0,1)$ における最適な求積公式の構築。
• 固定ノード $x_\beta$ に対して最適係数 $C_\beta$ を決定することにより、誤差関数のノルムを最小化すること。
• 求積公式が、次数 $m-2$ までのすべての多項式および関数 $e^{-x}$ に対して正確に成立することを保証すること。
• ラグランジュ乗数と畳み込みに基づく定式化を用い、Sobolevのアルゴリズムにより導かれた方程式系を解くこと。

提案手法

• 誤差関数 $\ell_N(x)$ を、ディラックのデルタ関数と $[0,1]$ 上の指示関数を含む分布として定式化する。
• 誤差関数のノルムを、双対空間 $W_2^{(m,m-1)*}(0,1)$ における測度として用い、最小化の基準とする。
• 条件 $(\ell_N, x^\alpha) = 0$（$\alpha = 0, \dots, m-2$）および $(\ell_N, e^{-x}) = 0$ を満たすためにラグランジュ乗数を適用する。
• 核関数 $\psi_m(x)$ を含む畳み込み方程式に、係数 $C_\beta$ が一様メッシュ $x_\beta = h\beta$（$h = 1/N$）上で定義されることに還元する。
• 解の形を $C_\beta = h + a_1 \lambda_1^\beta + b_1 \lambda_1^{N-\beta}$ と仮定し、再帰関係における係数の一致から $a_1$, $b_1$ を決定する。
• 特徴根 $\lambda_1$ を用いたパrameter $a_1$, $b_1$ と組み合わせて、最初および最後の係数 $C_0$ および $C_N$ の閉形式表現を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $m=1,2$ の場合、$W_2^{(m,m-1)}(0,1)$ における誤差ノルムを最小化する最適係数 $C_\beta$ は何か？
• RQ2 多項式の次数 $m-2$ および関数 $e^{-x}$ に対して同時に正確に成立するように、求積公式をどのように設計できるか？
• RQ3 ノードが一様に配置された場合、最適係数の解析的構造はどのようなものか？
• RQ4 Sobolevのアルゴリズムを用いて、係数に関する方程式系をどのように解けるか？

主な発見

• $m=1,2$ の場合、Sobolevのアルゴリズムを用いて最適係数 $C_\beta$ が明示的に導出され、$W_2^{(m,m-1)}(0,1)$ における誤差ノルムが最小化される。
• 係数は線形再帰を満たし、$C_\beta = h + a_1 \lambda_1^\beta + b_1 \lambda_1^{N-\beta}$ として表される。ここで $\lambda_1$ は特徴方程式の根である。
• 最初の係数は $C_0 = \frac{e^h - 1 - h}{e^h - 1} - K(h)(\lambda_1^2 + \lambda_1^N - \lambda_1 - \lambda_1^{N+1})$ であり、$K(h)$ は $h$ と $\lambda_1$ の関数として定義される。
• 最後の係数は $C_N = \frac{he^h - e^h + 1}{e^h - 1} - e^h K(h)(\lambda_1^2 + \lambda_1^N - \lambda_1 - \lambda_1^{N+1})$ である。
• 畳み込み方程式において $e^{h\beta}$ と $h\beta$ の係数を一致させることで、$a_1$ および $b_1$ に関する線形方程式系が得られる。
• この解法により、求積公式が $\alpha = 0, \dots, m-2$ のすべての $x^\alpha$ および $e^{-x}$ に対して正確に成立することが保証される。