[論文レビュー] Calculation of Feynman integrals by difference equations

S. Laporta|ArXiv.org|Nov 5, 2003

advanced mathematical theories被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1変数差分方程式のシステムを用いたフェイニマン積分の計算手法を提示する。この手法により、マスターフェルミオン積分が収束する階乗級数展開に還元される。このアプローチにより、部分積分恒等式から導かれる再帰関係を解くことによって、1200桁の精度に達する高精度計算が可能となり、素粒子場理論における多ループ図への応用が可能である。

ABSTRACT

In this paper we describe a method of calculation of master integrals based on the solution of systems of difference equations in one variable. Various explicit examples are given, as well as the generalization to arbitrary diagrams.

研究の動機と目的

• 1変数差分方程式を用いた、素粒子場理論におけるマスターフェルミオン積分を体系的に計算する手法の開発。
• 多ループ図の計算課題を、線形差分方程式への還元によって克服すること。
• 多くの質量および運動量を有する複雑な図に対しても、フェイニマン積分の高精度数値評価を可能にすること。
• 次元正則化における発散項および収束項を効果的に取り扱える堅牢な計算フレームワークの提供。
• 同じ図のトポロジーに対して複数の独立した差分方程式を導出することで、相互検証を容易にすること。

提案手法

• 積分による部分積分恒等式を用いて、一般のフェイニマン積分をマスターフェルミオン積分に還元する。
• マスターフェルミオン積分は、ループ次数変数における多項式係数を有する線形差分方程式を解くことで計算される。
• 解は、微分方程式のべき級数展開に類似した収束する階乗級数として表現される。
• アンザッツを差分方程式に代入することで得られる再帰関係から、階乗級数の係数が再帰的に決定される。
• 独自のC言語プログラム「SYS」が、マスターフェルミオン積分の特定、差分方程式の構築、任意精度算術を用いた数値的解法を自動化する。
• プログラムは $\epsilon = (4-D)/2$ の展開を最大500方程式までサポートし、精度は最大1200桁まで達する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 多ループ素粒子場理論におけるマスターフェルミオン積分は、1変数差分方程式を用いて効率的に計算可能か？
• RQ2 図の複雑さにかかわらず、フェイニマン積分の高精度数値結果をどのように得られるか？
• RQ3 この手法の計算スケーリングは、必要な精度および図の複雑さに関してどのように変化するか？
• RQ4 同じ図に対して複数の独立した差分方程式を導出可能か？これにより相互検証が可能になるか？
• RQ5 この手法は、任意の質量および運動量を有する任意の図トポロジーに一般化可能か？

主な発見

• 本手法により、フェイニマン積分の高精度計算が可能となり、2ループ自己エネルギー図の例で60桁の精度に達することが実証された。
• N 桁の精度を達成するための演算数は N に対して線形に増加するため、N \sim 10^3 の計算が現実可能である。
• 1ループ真空積分の差分方程式の解は収束する階乗級数展開を提供し、積分の正確な表現を実現する。
• プログラム「SYS」は、等質量およびオンシェル条件を満たす真空、自己エネルギー、ボリューム、ボックス図まで4ループまでマスターフェルミオン積分を正しく計算した。
• 本手法により、$\epsilon$-展開における発散項の数値評価が任意精度で可能となり、$\epsilon^0$、$\epsilon^1$ などの係数も含めて評価可能である。
• 図内の異なる線に対して複数の差分方程式を導出することで、相互検証が容易になり、信頼性が向上する。