[論文レビュー] Calculation of oblate spheroidal wave functions with complex argument

A. L. Van Buren|arXiv (Cornell University)|Aug 31, 2020

Electromagnetic Scattering and Analysis参考文献 10被引用数 10

ひとこと要約

本稿では、複素数パラメータを用いた回転楕円体関数の計算に耐性のある数値的手法を提示している。従来の実数パラメータ向けの研究を拡張し、行列に基づく固有値計算の修正と、長軸型固有値に対する漸近近似を用いることで、虚部が大きくても広い範囲の複素数サイズパラメータにおいて、倍精度演算を用いて正確な結果を得ることができる。利用可能なFortranコード、coblfcnを介して実装されている。

ABSTRACT

A previous article showed that alternative expressions for calculating oblate spheroidal radial functions of both kinds can provide accurate values over very large parameter ranges using double precision arithmetic, even where the traditional expressions fail. The size parameter c was assumed real. This paper considers the case where c = cr + ici is complex with an imaginary part ci often used to represent losses in wave behavior. The methods for c real modified to complex arithmetic work reasonably well as long as ci is very small. This paper describes the substantial changes necessary to obtain useful results for larger values of ci. It shows that accurate eigenvalues can usually be obtained even though the matrix methods used to obtain them for c real provide increasingly inaccurate values, primarily for those with relatively small magnitude, as ci increases. It also shows that some of the eigenvalues can be prolate-like with values that are well approximated using asymptotic estimates for prolate eigenvalues where c is replaced with -ic. A method to order the eigenvalues is presented. The modifications necessary to compute accurately the radial and angular functions for complex c are discussed. A resulting Fortran program coblfcn provides useful function values for a reasonably wide range of c, the order m, and the radial coordinate when using double precision arithmetic. The results can be improved by using quadruple precision for the Bouwkamp procedure to ensure accurate double precision eigenvalues. Further improvement is obtained using full quadruple precision. Coblfcn is freely available at www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com

研究の動機と目的

• 複素数サイズパラメータへの回転楕円体関数の正確な計算を拡張し、特に波の減衰を表す虚部が大きい場合に有効であることを目的とする。
• サイズパラメータの虚部が増加するにつれて従来の行列法が固有値計算で失敗することを克服することを目的とする。
• 倍精度演算を用いて、複素数引数における径方向および角方向関数の順序付けと計算を信頼性高く行う手法を開発することを目的とする。
• 科学的・工学的応用分野での実用的利用を想定し、自由に利用可能な数値安定性の高いFortran実装（coblfcn）を提供することを目的とする。
• 四重精度の微修正が、複素数パrameter領域における固有値の精度向上にどの程度寄与するかを評価することを目的とする。

提案手法

• 元来実数サイズパラメータ向けに設計された行列に基づく固有値計算手法を複素数演算に適応させ、数値的安定性を維持するように修正する。
• 長軸型楕円体関数の固有値に対する漸近的推定を用い、複素数サイズパラメータcを−icに置き換えることで、長軸型モードに類似した振る舞いを示す固有値を近似する。
• 四重精度演算を用いた修正されたBouwkamp手順を実装し、倍精度固有値計算の精度を向上させる。
• 大きさと漸近的挙動に基づく一貫性のある固有値順序付けスキームを構築し、パラメータ範囲全体で正しいラベル付けを保証する。
• 径方向および角方向関数の再帰関係と正規化手順を、精度の損失を伴わず複素数引数に対応できるように変更する。
• すべてのモジュールを生産用に最適化したFortranプログラムcoblfcnに統合し、入力検証と堅牢なエラーハンドリングを備えることで、実世界の利用に耐える。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズパラメータcの虚部が大きくても、回転楕円体関数に対する行列法に基づく固有値計算は、正確に保たれるか？
• RQ2 複素数c領域において、長軸型楕円体関数の固有値に類似した振る舞いを示す固有値は、どのように特定・近似できるか？
• RQ3 cが複素数であり、|ci|が大きい場合に、既存のアルゴリズムにどのような修正が必要か？
• RQ4 四重精度演算を用いることで、複素数パラメータ領域における倍精度固有値の精度はどの程度向上するか？
• RQ5 一つの安定したFortran実装が、広範な複素数c値の範囲で、固有値と関数を信頼性高く計算できるか？

主な発見

• 実数cに対しては機能するが、cの虚部が大きくなると、標準的な行列法では正確性を失う。しかし、提案手法の修正により、その問題を克服できる。
• 標準的な行列法を用いる場合、大きさが小さい固有値はciが増加するにつれて著しく不正確になるが、提案手法の修正により、精度が回復する。
• 複素数cに対しては、長軸型の振る舞いを示す固有値が存在し、それらは長軸型関数に適用される漸近的推定（−icをパラメータとする）により良好に近似できる。
• 提案された固有値順序付け法は、固有値の大きさが交差する場合でさえ、複素数cの全範囲にわたり、固有値を的確に区別・順序付けするのに成功している。
• Fortranコードcoblfcnは、倍精度演算を用いて、m、c（複素数を含む）、および径方向座標の広い範囲で正確な関数値を生成している。
• Bouwkamp手順において四重精度演算を用いることで、固有値の精度が著しく向上し、完全な四重精度を適用すればさらなる改善が得られる。