[論文レビュー] Calculation of quantum discord for qubit-qudit or N qubits

Sai Vinjanampathy, A. Rau|arXiv (Cornell University)|Jun 22, 2011

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 1被引用数 52

ひとこと要約

本稿では、量子ディスコードをキュービット-クイッド系および拡張X状態構造を有するNキュービット系で計算するための解析的公式を提示している。最適化を最大2つのパラメータに削減することで、計算を効率化している。エントロピックおよび幾何的測度の両方のディスコードを導出しており、後者は任意のd次元系に一般化され、物理的に関連する広範なクラスの状態に対して閉形式の解を提供する。

ABSTRACT

Quantum discord, a kind of quantum correlation, is defined as the difference between quantum mutual information and classical correlation in a bipartite system. It has been discussed so far for small systems with only a few independent parameters. We extend here to a much broader class of states when the second party is of arbitrary dimension d, so long as the first, measured, party is a qubit. We present two formulae to calculate quantum discord, the first relating to the original entropic definition and the second to a recently proposed geometric distance measure which leads to an analytical formulation. The tracing over the qubit in the entropic calculation is reduced to a very simple prescription. And, when the d-dimensional system is a so-called X state, the density matrix having non-zero elements only along the diagonal and anti-diagonal so as to appear visually like the letter X, the entropic calculation can be carried out analytically. Such states of the full bipartite qubit-qudit system may be named "extended X states", whose density matrix is built of four block matrices, each visually appearing as an X. The optimization involved in the entropic calculation is generally over two parameters, reducing to one for many cases, and avoided altogether for an overwhelmingly large set of density matrices as our numerical investigations demonstrate. Our results also apply to states of a N-qubit system, where "extended X states" consist of (2^(N+2) - 1) states, larger in number than the (2^(N+1) - 1) of X states of N qubits. While these are still smaller than the total number (2^(2N) - 1) of states of N qubits, the number of parameters involved is nevertheless large. In the case of N = 2, they encompass the entire 15-dimensional parameter space, that is, the extended X states for N = 2 represent the full qubit-qubit system.

研究の動機と目的

• 標準的な2キュービットケースを超えて、キュービット-クイッド系における量子ディスコードを計算するための解析的手法を開発すること。
• X状態の概念を高次元系（キュービット-クイッドおよびNキュービット）に拡張し、ブロック対角X構造を持つ「拡張X状態」を定義すること。
• ディスコードの計算複雑性を低下させ、最適化を最大2つのパラメータに制限することで、多くの場合に代数的評価により最適化を回避可能にすること。
• 2キュービット系での幾何的測度のディスコードを、(2⊗d)次元系に一般化し、普遍的な閉形式式を提供すること。
• N=2の場合に、拡張X状態がキュービット-キュービット系の全15次元パラメータ空間をカバーすることを示し、2キュービット系に対して包括的な枠組みを提供すること。

提案手法

• キュービット-クイッド系の密度行列が4つのd×dブロック行列から構成され、それぞれが対角成分と反対角成分にのみ非ゼロ要素を持つ（X構造）という「拡張X状態」を導入する。
• 相互情報量を計算し、古典的相関を差し引くことでエントロピック定義のディスコードを適用し、ブロック行列の固有値解析によりキュービットのトレースを簡略化する。
• キュービット上のフォン・ノイマン測定の最適化を最大2つのパラメータ（θ, φ）に削減し、多くの場合に最適化を回避して直接評価可能である。
• 状態と最も近い古典的状態とのヒルベルト＝シュミット距離を用いて幾何的測度のディスコードを導出し、測定基底の最小化を実行する。
• 行列分解を用いて、幾何的ディスコードをブロッホベクトルと相関テンソルの関数として表現し、2×2行列の最大固有値を含む閉形式の公式を導出する。
• 2キュービット系で導出した幾何的ディスコードの公式が、(2⊗d)系へ一般化可能であることを示し、最小化構造が普遍的に成り立つことを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意のdについて、2キュービットケースを超えてキュービット-クイッド系における量子ディスコードを解析的に計算できるか？
• RQ2 高次元系におけるX状態構造は、特に最適化ステップにおいてディスコード計算を単純化可能か？
• RQ3 2キュービット系でのみ知られていた幾何的測度のディスコードを、(2⊗d)系に一般化し、普遍的な閉形式式で表現可能か？
• RQ4 Nキュービット系における拡張X状態は、特にN=2の場合に、量子相関の全パラメータ空間をどの程度カバーするか？
• RQ5 物理的に関連する広範な状態クラスにおいて、エントロピックディスコード計算の最適化を完全に削減または回避可能か？

主な発見

• 拡張X状態におけるエントロピックディスコード計算は、最大2つのパラメータ（θ, φ）への最適化に帰着され、対称性により1つのパラメータがしばしば消去可能である。
• 広範なクラスの拡張X状態において、最適化ステップを完全に回避でき、臨界点での代数的評価により直接解析的計算が可能である。
• 幾何的測度のディスコードは2キュービット系から(2⊗d)系へ一般化され、公式 $ D^{(2)}_A( ho) = rac{1}{2d}( orm{x}^2 + orm{T}^2 - k_{ ext{max}}) $ が普遍的に成り立つ。
• 2キュービットX状態の場合、幾何的ディスコードの公式は $ D^{(2)}_A( ho) = rac{1}{4} \text{min}(|a|^2, \frac{1}{2}|a|^2 + \rho_0 - \frac{1}{2}\rho_+ ) $ に簡略化され、局所ユニタリ変換までで7つの独立パラメータを含む。
• N=2キュービット系における拡張X状態は、2キュービット密度行列の全15次元空間をカバーするため、このケースにおいて枠組みは完全である。
• Nキュービット系における拡張X状態のパラメータ数は $ 2^{N+2} - 1 $ であり、標準X状態の $ 2^{N+1} - 1 $ よりも大きいが、全 $ 2^{2N} - 1 $ 次元パラメータ空間に比べて著しく小さい。