[論文レビュー] Calculation of the Cherenkov fields in the cross-section of a short relativistic bunch

S. S. Baturin|arXiv (Cornell University)|Jul 14, 2015

Gyrotron and Vacuum Electronics Research参考文献 3被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、短い相対論的電子ビームの周囲におけるチェレンコフ場の横方向分布——特に縦方向電場 $E_z$ および磁場 $H_z$ ——を、波ガイド断面におけるコンformalマッピングを用いて厳密に導出する。先行研究の点状ビームモデルを横方向に分布したビームに一般化することで、任意の波ガイド断面（円形、平板形、長方形）における場の分布を解析的に計算可能な2次元グリーン関数を導出する。この結果はモード分解法と照合され、全テストケースで完全な一致を示した。

ABSTRACT

Recently, a new method for calculating the Cherenkov field acting on a point-like electron bunch passing through longitudinally homogeneous structures lined with arbitrary slowdown layers was proposed, where the formalism was obtained though consideration of a general integral relation that allows calculation of the fields at the vicinity of a point-like bunch. It demonstrates that the Cherenkov field at the point of the short relativistic bunch does not depend on the waveguide system material and is a constant for any given transverse dimensions and cross-section shapes of waveguides. With this paper we present a strict derivation of the fields formulas valid at the cross-section of a bunch on the basis of a conformal mapping method. We generalize the results of the previous paper to the case of transversely distributed bunch by deriving a two-dimensional Green function at the cross-section of a bunch. Comparison of the results proving validity of the method is given in the appendix.

研究の動機と目的

• 点状ビームから横方向に分布した相対論的電子ビームへのチェレンコフウェークフィールドの解析的枠組みの拡張。
• 任意の波ガイド断面における縦方向電場および磁場の2次元グリーン関数の導出。
• 波ガイド材料に依存しない、任意の横断面形状およびビーム分布に適用可能な手法の確立。
• 複数の波ガイドタイプにおいて、新規形式主義を既存のモード分解技術と照合することで妥当性を検証。
• コンフォーマルマッピング技術を用いて、提案形式主義内での相対論的ガウスの定理の厳密な導出。

提案手法

• 複雑な波ガイド断面（円形、平板形、長方形）を、解析的解が既知の単純な幾何にコンフォーマルマッピングで変換する。
• 複素ポテンシャル形式を用い、コーシー＝リーマン方程式を通じて、$E_z$ および $H_z$ を複素平面内での正則関数に結びつける。
• 超相対論的極限におけるマクスウェル方程式を解くことで、分布ビームの断面における $E_z$ および $H_z$ の2次元グリーン関数を導出する。
• 円筒形スローモード構造モデルに基づく一般化された積分関係を導入し、コンフォーマルマッピングを用いて非円形幾何に拡張する。
• 長方形波ガイド内の金属境界を扱うために、符号が交互に変わる無限級数のイメージ電荷法を適用する。
• 解析的式とモード分解による数値シミュレーションを照合することで結果を検証し、全テストケースで完全な一致を達成。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限な横方向サイズを持つ相対論的電子ビームに対して、チェレンコフ場の横方向分布を解析的に記述する方法は何か？
• RQ2 コンフォーマルマッピングを用いて、任意の波ガイド断面における $E_z$ および $H_z$ の統一的グリーン関数形式を導出可能か？
• RQ3 ビーム位置における縦方向場 $E_z$ は波ガイド材料に依存せず、横断面形状および電荷分布にのみ依存するか？
• RQ4 提案手法は、平板形および長方形波ガイドにおいて、既存のモード分解技術と定量的にどのように比較できるか？
• RQ5 コンフォーマルマッピング技術を用いて、この新規形式主義内での相対論的ガウスの定理を厳密に導出可能か？

主な発見

• 導出された2次元グリーン関数は、円形、平板形、長方形を含む任意断面形状の波ガイドにおいて、$E_z$ および $H_z$ の横方向分布を正確に予測できる。
• 円形波ガイドの場合、$E_z$ の解析的式はモード分解結果と完全に一致し、全半径および方位角位置で確認された。
• 平板波ガイドでは、コンフォーマルマッピングによる導出式 $E_z = -\frac{2Q}{a^2}\frac{\pi^2}{8}\frac{1+\cos(\pi x/2a)\cosh(\pi y/2a)}{(\cos(\pi x/2a)+\cosh(\pi y/2a))^2}$ がシミュレーションデータと完全に一致した。
• 長方形波ガイドでは、中心での場は $E_z^{rec}(0,0) = -\frac{2Q}{a^2}\frac{\pi^2}{16}\left(1+4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^n}{1+\cosh(\pi n w / 2a)}\right)$ で与えられ、数値結果と正確に一致した。
• この手法により、$E_z$ が波ガイド材料に依存せず、横断面形状および電荷分布にのみ依存することが確認された。
• 相対論的ガウスの定理は、提案形式主義から正当に導出され、超相対論的極限における基本的電磁気学的原則と整合していることが示された。