[論文レビュー] Calculation Rules and Cancellation Rules for Strong Hom-Schemes

Frank a Campo|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 3被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、有限の順序集合における強いHom-スキーム、G-スキーム、I-スキームの計算およびキャンセレーション則を確立し、順序算術演算（直和、順序和、積）が特定の条件下で順序関係 ⊑、⊑G、および ⊑I を保存することを示している。主な貢献は、追加の正則性仮定の下で、Q × R ⊑G Q × S および Q × R ⊑I Q × S からそれぞれ R ⊑G S および R ⊑I S が導かれる構成的証明であり、順序集合準同型集合におけるキャンセレーションを可能にする。

ABSTRACT

Let ${\cal H}(A,B)$ denote the set of homomorphisms from the poset $A$ to the poset $B$. In previous studies, the author has started to analyze what it is in the structure of finite posets $R$ and $S$ that results in $# {\cal H}(P,R) \leq # {\cal H}(P,S)$ for every finite poset $P$, if additional regularity conditions are imposed. In the present paper, it is examined if this relation (with or without regularity conditions) is compatible with the operations of order arithmetic and if cancellation rules hold.

研究の動機と目的

• 有限順序集合上の順序関係 ⊑、⊑G、および ⊑I が、直和、順序和、積などの順序算術演算によって保存されるかどうかを調査すること。
• これらの関係に関してキャンセレーションが成り立つ条件を特定すること、特に順序集合の積と和の文脈において。
• 連結な順序集合上で定義されたHom-スキームを、連結成分分解を用いてすべての有限順序集合へ拡張すること。
• Q×R ⊑G Q×S および Q×R ⊑I Q×S が成り立つ場合に、それぞれ G-スキームおよび I-スキームが R から S へ存在することを示す、正則性仮定の下での証明。
• 再帰的系列と連結成分解析を用いて、積に基づくスキームから強いG-およびI-スキームを構成的に導出する方法を確立すること。

提案手法

• すべての有限順序集合 P に対して、H(P, R) と H(P, S) の間の構造を保存する単射写像として、強いHom-スキーム、G-スキーム、I-スキームの概念を用いる。
• 順序集合の連結成分分解を適用して、非連結な順序集合に関する問題を連結な順序集合への還元を行い、連結な順序集合から一般の有限順序集合へのスキームの拡張を可能にする。
• G-スキーム ρ を用いて定義される再帰的系列 φiP(ξ) を導入し、φ0P(ξ) = cP,q および φiP(ξ) = ρ(φi−1P(ξ), ξ)1 とすることで、連結性および逆像の挙動を追跡する。
• 集合論的補題 8 を用いて、任意の ξ ∈ H(P, R) に対して、系列 (φiP(ξ)) が最終的に cP,q に戻ることを証明し、有限周期性を保証する。
• 新しい写像 τP(ξ) ≡ ρ(ΦnP(ξ)−1P(ξ))2 を定義し、戻り時間 nP(ξ) を用いて、R から S への強いG-スキームを構成する。
• I-スキームの構成が、像における順序関係を尊重するように保証するため、ρ が Q の連結成分を保存するという条件 (28) を課す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 R ⪯ S が強いHom-、G-、またはI-スキームによって成り立つ場合、それらの双対についても同様の関係が成立するか。また、すべての Q ∈ P に対して H(Q, R) ⪯ H(Q, S) が成り立つか。
• RQ2 R1, R2, S1, S2 を有限順序集合とし、R1 ⪯ S1 および R2 ⪯ S2 が成り立つとき、直和、順序和、積の演算 ⊙ に対して R1 ⊙ R2 ⪯ S1 ⊙ S2 が成り立つか。
• RQ3 Q ⊙ R ⪯ Q ⊙ S が ⊙ ∈ {⊕, ×} に対して成り立つ場合、R ⪯ S が成り立つ条件は何か。特に、強いI-スキームおよびG-スキームの文脈で。
• RQ4 Q×R から Q×S への強いI-スキームを用いて、R から S への強いI-スキームを構成可能か。また、そのために必要な正則性仮定は何か。
• RQ5 直和に関してキャンセレーション則が成り立つか。すなわち、Q ⊕ R ⪯ Q ⊕ S が成り立つならば、R ⪯ S が強いHom-スキーム、G-スキーム、またはI-スキームについて成り立つか。

主な発見

• 強いHom-スキームおよびG-スキームの計算則は例外なく普遍的に成り立つが、I-スキームに関しては順序和および積に関して一般則が存在しない。
• 直和演算に関しては、キャンセレーションが無条件に成立する：R1 ⊕ R2 ⪯ S1 ⊕ S2 ならば、R1 ⪯ S1 および R2 ⪯ S2 が成り立つ。
• 順序和および積に関しては、キャンセレーションは追加の正則性仮定が必要であり、特にI-スキームに関しては必須で、G-スキームに対しても一部で必要となる。
• Q×R から Q×S への強いG-スキームが存在する場合、戻り時間 cP,q を用いた再帰的構成により、R から S への強いG-スキームが存在することを示し、R ⊑G S を証明する。
• I-スキームに関しては、Q×R ⊑I Q×S から R ⊑I S を導くには、追加仮定 (28) つまり ρ が Q の連結成分を保存することを要する。これにより、順序構造が維持される。
• 構成された写像 τP(ξ) ≡ ρ(ΦnP(ξ)−1P(ξ))2 は、強いG-スキームを生成し、条件 (28) を満たすと、強いI-スキームを R から S へ生成する。これにより R ⊑I S が証明される。