[論文レビュー] Calculus of conformal fields on a compact Riemann surface

Nam‐Gyu Kang, Nikolai Makarov|arXiv (Cornell University)|Aug 24, 2017

Advanced Algebra and Geometry参考文献 11被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、背景電荷を伴う修正ガウス型自由場から構成されるコンformal field theoryの厳密な解析的枠組みを、コンpakトなリーマン面上で構築する。Wardの恒等式が、リー微分作用素をバーチャル・スカラー場と穴あき作用素によって表現し、OPEおよびシータ関数の技法を用いてトーラス上でのEguchi-OoguriおよびBPZ方程式を確立する。

ABSTRACT

We present analytical implementation of conformal field theory on a compact Riemann surface. We consider statistical fields constructed from background charge modifications of the Gaussian free field and derive Ward identities which represent the Lie derivative operators in terms of the Virasoro fields and the puncture operators associated with the background charges. As applications, we derive Eguchi-Ooguri's version of Ward's equations and certain types of BPZ equations on a torus.

研究の動機と目的

• コンパクトなリーマン面におけるCFTの数学的厳密な構成を、複素平面を超えて行う。
• 背景電荷の存在下で、リー微分作用素とバーチャル・スカラー場・穴あき作用素との関係を表すWardの恒等式を導出する。
• OPEおよび相関関数を用いて、トーラス上でのEguchi-OoguriのWard方程式およびBPZ方程式を確立する。
• シータ関数およびアーベル・ジャコビ写像を用いた座標に依存しないフォック空間場の形式的体系を構築し、ホモロジー基底の選択に依存しない。
• トーラス上でのリウヴィル作用素と分配関数が、修正ガウス型自由場の相関関数とどのように関係するかを明らかにする。

提案手法

• 種数gのコンパクトなリーマン面上にガウス型自由場Φを、二重極グリーン関数を用いて構成し、リーマンのシータ関数およびアーベル・ジャコビ写像で表現する。
• OPEを用いて電流場J = ∂Φおよびバーチャル・スカラー場Tを定義し、周期行列およびリゾルベント核と関連する相関関数を導出する。
• ガウス型自由場の背景電荷による修正を導入し、修正された電流場およびバーチャル・スカラー場を定義し、それらのOPE指数関数を導出する。
• 形式上のリウヴィル作用素を用いて場を生成し、トーラス上でのその分配関数を計算し、相関関数と結びつける。
• シータ関数の周期性およびゼロ点定理（例：定理A.3）を用いて、良好に定義された多点相関関数を定義する。
• バーチャル・スカラー場の輪積分を用いてWardの方程式を導出し、リー微分を∮vT X(z)/(2πi)として表現する。ここでXはOPE族Fに属する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 背景電荷を伴うガウス型自由場を用いて、コンパクトなリーマン面上でのCFTをどのように厳密に定式化できるか？
• RQ2 この設定において、リー微分作用素とバーチャル・スカラー場・穴あき作用素との間の正確なWardの恒等式は何か？
• RQ3 トーラス上での修正ガウス型自由場のOPE構造から、Eguchi-Ooguri方程式およびBPZ方程式はどのように導かれるか？
• RQ4 シータ関数およびアーベル・ジャコビ写像は、相関関数の座標に依存しない、基底に依存しない形式的体系をどのように可能にするか？
• RQ5 リウヴィル作用素は、トーラス上でのCFTの場および分配関数を生成する際に果たす役割は何か？

主な発見

• 本稿は、OPE族Fに属する場に対して作用するリー微分作用素L_v^+が、∮_v T X(z)/(2πi)として表され、ここでTはバーチャル・スカラー場でX ∈ Fであることを確立する。
• 相関関数E[J(z)J̄(z₀)]が、ホモロジー基底の選択に依存せず、周期行列の逆行列に等しいことを証明する。
• 1点関数E[T]が、シータ特徴量eに依存しないことが示され、バーグマンの射影接続が自然に現れる。
• p₀およびqに関して非特異なeに対して、比Θ(𝒜(z)−𝒜(q)−e)/Θ(𝒜(z)−𝒜(p)−e)は、ちょうどq−pの除数を持つメラモーフィック関数を定義する。
• 二重極グリーン関数G_p,q(z)は、F_{𝒜(p)+e,𝒜(q)+e}(𝒜(z))に実定数を加えたものとして明示的に与えられる。ここでFはシータ関数から導かれる周期関数である。
• トーラス上では、リウヴィル作用素の分配関数が計算され、OPE指数関数を介してコロンブ・ガスの相関関数と結びつけられる。