[論文レビュー] Calculus of Variations with Classical and Fractional Derivatives

Tatiana Odzijewicz, Delfim F. M. Torres|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ラグランジアンに $ y' $ と $ {}_aD_t^eta y $ の両方を組み込むことで、変分法における古典的および分数階微分を統一する新しい変分フレームワークを導入する。任意の境界条件および等周的制約を持つ問題に対して、Euler–Lagrange型の最適性条件を導出し、$ k=0 $ において古典的変分法が正確に回復されることを保証する。これは、先行研究が $ \alpha \to 1 $ の極限でのみ回復するのとは対照的である。主な貢献は、標準的なリーマン–リーマン分数階微分が課す制限的な $ y(a)=y(b)=0 $ 条件を回避する一貫性のある拡張を実現したことである。

ABSTRACT

We give a proper fractional extension of the classical calculus of variations. Necessary optimality conditions of Euler-Lagrange type for variational problems containing both classical and fractional derivatives are proved. The fundamental problem of the calculus of variations with mixed integer and fractional order derivatives as well as isoperimetric problems are considered.

研究の動機と目的

• 整数階および分数階微分を同時に含む単一の変分フレームワークにおいて、古典的変分法を拡張すること。
• 先行研究が $ \alpha \to 1 $ の極限でのみ古典的状況を回復するという制限を克服し、$ k=0 $ で正確に回復されることを保証すること。
• 任意の境界条件 $ y(a)=y_a $, $ y(b)=y_b $ を満たす混合微分 $ y' + k\,{}_aD_t^\alpha y $ を含む変分問題における必要最適性条件を確立すること。
• 一般制約を伴う分数階設定における等周的問題を扱い、先行研究を超えた一貫性のある拡張を提供すること。

提案手法

• $ t $, $ y $, および組み合わせ微分 $ v = y' + k\,{}_aD_t^\alpha y $ に依存する一般化されたラグランジアンを導入する。ここで $ k \in \mathbb{R} $ かつ $ \alpha \in (0,1) $ である。
• リーマン–リーマン分数階微分に対する部分積分を適用し、拡張された汎関数のEuler–Lagrange方程式を導出する。
• 左および右のリーマン–リーマン分数階微分を含む、両辺に分数階微分方程式としての必要最適性条件を導出する。
• Mittag–Leffler関数を用いて、変分問題に現れる分数階微分方程式の解を表現する。
• 等周的制約を扱うためにラグランジュ乗数法を適用し、拡張ラグランジアン形式を導出する。
• 解析的例を通じて手法の妥当性を検証する。例には、$ k=0 $ の古典的ケース、$ \alpha \to 1 $ の極限、および $ \alpha = 1/2 $ の分数階等周的問題が含まれる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 古典的変分法を、単一の変分定式化において古典的および分数階微分を一貫して統合するにはどうすればよいか？
• RQ2 任意の境界条件を満たす混合微分 $ y' + k\,{}_aD_t^\alpha y $ を含む変分問題における必要最適性条件は何か？
• RQ3 一般制約を伴う分数階変分問題に等周的制約を統合するにはどうすればよいか？ また、古典的状況との一貫性を保つには？
• RQ4 なぜ先行の分数階変分法は古典的理論を正確に回復できないのか？ その制限をどのように克服できるか？
• RQ5 分数階等周的問題（$ \alpha = 1/2 $, $ k=1 $）の極値関数の解析的形は何か？ ただし境界値が与えられているものとする。

主な発見

• 提案されたフレームワークは、$ k=0 $ のとき、先行研究が $ \alpha \to 1 $ の極限でのみ回復するのとは対照的に、古典的変分法を正確に回復する。
• 基本問題に対する必要最適性条件は、左および右のリーマン–リーマン分数階微分を含む分数階微分方程式として導出された。
• 等周的問題では、極値関数が $ y(t) = \int_0^t E_{1-\alpha,1}(-k(t-\tau)^{1-\alpha}) \xi \, d\tau $ と与えられ、制約および境界条件を満たす。
• $ k=0 $ のとき、極値関数は $ y(t) = \xi t $ に簡略化され、標準問題の古典的最小化子と一致する。
• $ \alpha \to 1 $ の極限において、分数階問題は、最小化子がスケーリングされた古典的変分問題に還元され、一貫性が確認される。
• $ k=1 $, $ \alpha = 1/2 $, $ \xi=1 $ の場合、極値関数は $ y(t) = -\left(1 - e^t \mathrm{erfc}(\sqrt{t}) + \frac{2\sqrt{t}}{\sqrt{\pi}} \right) $ と与えられ、分数階等周的制約および境界条件を満たす。