[論文レビュー] Calculus of Variations with Fractional and Classical Derivatives

Tatiana OdzijewiczDelfim, François Torrès|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2010

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 27被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、分数階および整数階微分を含むように古典的な変分法を拡張し、混合階微分を含む変分問題におけるオイラー＝ラグランジュ型最適性条件を導出する。主な貢献は、古典的および分数階微分を含む問題における最適性の必要条件を確立する、きめ細やかな分数階拡張を提供することにある。これは、等周的制約を含む問題にも適用可能である。

ABSTRACT

We give a proper fractional extension of the classical calculus of variations. Necessary optimality conditions of Euler-Lagrange type for variational problems containing both fractional and classical derivatives are proved. The fundamental problem of the calculus of variations with mixed integer and fractional order derivatives as well as isoperimetric problems are considered.

研究の動機と目的

• 古典的変分法に分数階拡張を一貫して導入し、分数階および古典的微分を含むものとする。
• 具体的には、整数階および分数階微分の組み合わせを含む混合階微分を含む変分問題を扱う。
• このような混合微分問題におけるオイラー＝ラグランジュ型の必要最適性条件を導出する。
• 分数階微分と古典的微分を含む混合微分問題への等周的問題への理論的拡張を行う。
• ハイブリッドな微分構造を持つ分数階微分の変分問題の理論的基盤を提供する。

提案手法

• 状態関数の古典的および分数階微分に依存するラグランジアンを含む変分問題を定式化する。
• 最適性の必要条件を導出するために、分数階積分による部分積分公式を適用する。
• 分数階微分のリーマン＝リウビル定義を用いることで、分数階微分の理論と整合性を保つ。
• 状態関数に関する作用関数の変分を用いて、混合微分の場合のオイラー＝ラグランジュ方程式を導出する。
• 積分制約に対してラグランジュ乗数を導入することで、等周的制約を考察する。
• 古典的および分数階微分を含む分数階微分方程式の形で、最適性の必要条件を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、古典的変分法を、1つの変分定式化に分数階微分と古典的微分を含める形に一般化できるか？
• RQ2 整数階および分数階微分を含む関数の汎関数における必要最適性条件は何か？
• RQ3 混合微分を含む変分問題の文脈において、等周的制約はオイラー＝ラグランジュ方程式の構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 最適性条件を導出する際に適切な分数階積分による部分積分公式は何か？
• RQ5 混合微分を含む分数階微分設定において、制約を含む理論を一貫して拡張できるか？

主な発見

• 本稿では、古典的および分数階微分を組み合わせた新しいオイラー＝ラグランジュ方程式を導出しており、古典的結果を一般化している。
• 必要最適性条件は、混合微分問題に特化した分数階積分による部分積分技術を通じて確立された。
• 分数階微分の次数をゼロに設定すると、導出された最適性条件は古典的オイラー＝ラグランジュ方程式に簡約される。
• 理論は等周的問題へ拡張されており、制約自体も混合微分を用いて表現されている。
• ハイブリッドな古典的および分数階微分作用素を含む変分問題のための一貫した数学的基盤を提供する。
• 結果はリーマン＝リウビル分数階微分に対して有効であり、標準的な分数階微分の慣習と整合性がある。