[論文レビュー] Calderon inverse Problem for the Schrodinger Operator on Riemann Surfaces

Colin Guillarmou, Leo Tzou|ArXiv.org|Apr 24, 2009

Numerical methods in inverse problems参考文献 23被引用数 8

ひとこと要約

この論文は、境界付きコンパクトなリーマン面 $ (M_0, g) $ 上のシュレーディンガー作用素 $ \Delta_g + V $ におけるポテンシャル $ V $ の一意性を、ディリクレ・トゥ・ノイマン写像（コーシー・データ空間）を用いて確立する。証明は、正則的カルレマン重みを用いた複素幾何学的オプティクス解の構成と、定常位相法の応用に依拠しており、直線的でない曲面への結果の拡張を達成し、計量の共形類までの一意性を確認する。

ABSTRACT

On a fixed smooth compact Riemann surface with boundary $(M_0,g)$, we show that the Cauchy data space (or Dirichlet-to-Neumann map $\mc{N}$) of the Schrödinger operator $Δ+V$ with $V\in C^2(M_0)$ determines uniquely the potential $V$. We also discuss briefly the corresponding consequences for potential scattering at 0 frequency on Riemann surfaces with asymptotically Euclidean or asymptotically hyperbolic ends.

研究の動機と目的

• コンパクトな境界付きリーマン面 $ (M_0, g) $ 上の $ V \in C^2(M_0) $ のポテンシャルの一意性を、シュレーディンガー作用素 $ \Delta_g + V $ のコーシー・データ空間から確立すること。
• カルデロンの逆問題をリーマン面に拡張し、全データ測定のもとでディリクレ・トゥ・ノイマン写像が $ V $ を一意に特定することを示すこと。
• 正則的カルレマン重みを用いた、リーマン面上での特別な複素幾何学的オプティクス解の構成法を開発すること。これは、ユークリッド領域における場合よりも複雑である。
• 導出されたポテンシャル $ V = (\Delta_g \gamma^{1/2}) / \gamma^{1/2} $ を持つシュレーディンガー作用素への変換により、逆導電率問題とポテンシャル問題との間の関係を確立し、$ C^4 $ 導電率へ結果の拡張を行うこと。
• 非コンパクトな漸近的にユークリッド的または漸近的に双曲的リーマン面に対する逆問題を一般化し、ゼロ周波数における散乱データからコンパクトサポートを持つポテンシャルの一意性を証明すること。

提案手法

• 形式 $ u = e^{\Phi/h}(a + r(h)) $ の複素幾何学的オプティクス解を構成する。ここで $ \Phi $ は正則的カルレマン重み、$ r(h) $ は $ h \to 0 $ のとき小さな誤差項である。
• $ h \to 0 $ のときの定常位相漸近展開を用い、$ \Phi $ が点 $ p \in M_0 $ で非退化な臨界点を持つことにより、$ V(p) $ を回復する。
• リーマン面上の退化重みに対する新しいカルレマン推定式を構築し、幾何学的オプティクス解の構成における誤差項の制御に不可欠である。
• 特別な解の方法をディリクレ・トゥ・ノイマン写像に適用し、コーシー・データの一致がポテンシャルの一致を意味することを示す。
• 重み付きソボレフ空間における解の漸近解析を用いて、非コンパクトな漸近的にユークリッド的または双曲的表面における散乱問題を、制限によりコンパクトな場合に還元する。
• 相対的インデックス定理と境界付近での解の漸近展開を用い、重み付き $ L^2 $-空間における散乱データの一致が $ V_1 = V_2 $ を意味することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付きコンパクトなリーマン面上の $ V \in C^2(M_0) $ が、シュレーディンガー作用素 $ \Delta_g + V $ の全コーシー・データ空間から一意に再構成可能か。
• RQ2 リーマン面上のディリクレ・トゥ・ノイマン写像が、$ C^4(M_0) $ の等方的導電率 $ \gamma $ を一意に特定するか。
• RQ3 漸近的にユークリッド的または双曲的表面におけるシュレーディンガー作用素の逆問題は、ゼロ周波数における散乱データを用いてコンパクトな場合に還元可能か。
• RQ4 正則的カルレマン重みは、リーマン面上での複素幾何学的オプティクス解の構成において果たす役割は何か。また、ユークリッド領域とはどのように異なるか。
• RQ5 非コンパクトな表面において、重み付きソボレフ空間 $ x^{\alpha}H^2_b $ における解の一致が、ポテンシャルの一致を意味する条件は何か。

主な発見

• コンパクトな境界付きリーマン面上のシュレーディンガー作用素 $ \Delta_g + V_1 $ と $ \Delta_g + V_2 $ について、コーシー・データ空間 $ \mathcal{C}_1 = \mathcal{C}_2 $ ならば $ V_1 = V_2 $ が成り立つ。これはポテンシャルの一意性を証明する。
• この結果は $ V_1, V_2 \in C^2(M_0) $ という仮定のもとで成り立ち、計量 $ g $ は共形類まで固定される。つまり、複素構造のみが必要となる。
• この方法は逆導電率問題へも拡張可能である。もし二つの $ C^4 $ 導電率が同じディリクレ・トゥ・ノイマン写像を与えるならば、それらは等しい。これはヘンキン＝ミシェルの結果を一般化する。
• 漸近的にユークリッド的表面では、重み付き $ x^{j-\epsilon}H^2_b $ 空間における散乱データがすべての次数で一致するならば、$ V_1 = V_2 $ が成り立つ。これはゼロ周波数における一意性を確立する。
• リーマン面上での正則的カルレマン重みの構成は非自明であり、退化重みに対する新しいカルレマン推定式の導出が不可欠である。これは主な技術的貢献である。
• 証明は、一意的拡張性とグリーンの公式に依拠し、すべての特別な解と $ L^2 $-直交する解がゼロであることを示す。これにより $ f = 0 $ が得られ、結局 $ V_1 = V_2 $ が導かれる。