[論文レビュー] Calderon-Zygmund capacities and Wolff potentials on Cantor sets

Xavier Tolsa|arXiv (Cornell University)|Jan 18, 2010

Analytic and geometric function theory参考文献 2被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^d$ 内の特定のカントール集合に対して、$s$-次元の Calderón-Zygmund 容量 $γ_s$ が Wolff 容量 $˙{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}$ と比較可能であることを確立し、潜在的理論と特異積分の間の重要な接続を提供する。この結果は、$s \in (0,d)$ が非整数である場合、すべてのコンパクト集合に対してこれらの容量化が比較可能であるという広範な未解決予想を支持する。

ABSTRACT

We show that, for some Cantor sets in R^d, the capacity g_s associated to the s-dimensional Riesz kernel x/|x|^{s+1} is comparable to the capacity C_{2(d-s)/3,3/2} from non linear potential theory. It is an open problem to show that, when s is positive and non integer, they are comparable for all compact sets in R^d. We also discuss other open questions in the area.

研究の動機と目的

• コンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^d$ における $s$-次元 Calderón-Zygmund 容量 $\gamma_s$ と Wolff 容量 $\dot{C}_{\alpha,p}$ の関係を調査すること。
• $s \in (0,d)$ が非整数であるとき、すべてのコンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^d$ に対して $\gamma_s(E) \lesssim \dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}(E)$ が成り立つかどうかを特定すること。
• Riesz 変換の理論、容量化の比較、および bilipschitz 変換やアフィン写像による不変性に関する未解決問題を探索すること。
• 正方形関数 $Q^s_\mu$ が Riesz 変換の $L^2(\mu)$ 有界性を特徴付ける役割を調べ、その可微分性との関連を検討すること。

提案手法

• $\gamma_s(E)$ を、$E$ 上に台を持つ分布 $T$ に対して $\|R^s(T)\|_{L^\infty} \leq 1$ を満たすものについて、$|\langle T,1\rangle|$ の上界として定義する。
• Wolff のポテンシャル特徴付け $\dot{C}_{\alpha,p}(E) \approx \sup_\mu \mu(E)$ を適用し、すべての $x \in E$ に対して $\dot{W}^\mu_{\alpha,p}(x) \leq 1$ を満たす $\mu$ を考える。
• $K^s(x) = x/|x|^{s+1}$ を用いて、$s$-Riesz 変換 $R^s_\mu(f) = \int K^s(y-x) f(y)\,d\mu(y)$ 及びその切断された版 $R^s_{\mu,\varepsilon}$ を分析する。
• $Q^s_\mu(f)(x) = \left(\sum_{j\in\mathbb{Z}} |R^s_j\mu(f)(x)|^2\right)^{1/2}$ を導入し、$R^s_\mu$ の $L^2(\mu)$ 有界性を研究する。
• Harmonic analysis の技術、特に $T(1)$ 定理とカーネルの対称化を用いて、$\gamma_s$ と $\dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}$ を比較する。
• 自己同相似性とエネルギー推定を活用して、$\gamma_s \approx \dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}$ が成り立つ明示的な例をカントール集合のケースで構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $s \in (0,d)$ が非整数であるとき、すべてのコンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^d$ に対して $\gamma_s(E) \lesssim \dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}(E)$ が成り立つかどうか？
• RQ2 $s$ が非整数であるとき、Riesz 変換 $R^s_\mu$ の $L^2(\mu)$ 有界性が、関連する正方形関数 $Q^s_\mu$ の有界性を示唆するか？
• RQ3 $d > 2$ のとき、$L^2(\mu)$ 有界性が bilipschitz 変換やアフィン写像によって保存されるか？
• RQ4 $s > 1$ のとき、$R^s_{(j)}\nu$ の各成分に対する $L^\infty$ 界の下で定義される容量 $\widetilde{\gamma}_s(E)$ が $\gamma_s(E)$ と比較可能か？
• RQ5 $s$-Riesz 変換の $d-1$ 個の成分の $L^2(\mu)$ 有界性が、全ベクトル値変換の有界性を示唆するか？

主な発見

• 特定の $\mathbb{R}^d$ 内のカントール集合に対して、$s$-次元 Calderón-Zygmund 容量 $\gamma_s$ は Wolff 容量 $\dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}$ と比較可能である。
• すべてのコンパクト集合 $E \subset \mathbb{R}^d$ およびすべての $0 < s < d$ に対して、不等式 $\gamma_s(E) \gtrsim \dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}(E)$ が成り立つ。
• 逆不等式 $\gamma_s(E) \lesssim \dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}(E)$ は、$s$ が整数である場合に反例（正の $s$-測度を持つ $s$-平面）により成立しない。
• すべてのコンパクト集合に対して、$0 < s < 1$ のとき、比較 $\gamma_s \approx \dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}$ が成り立つことが [MPV05] で確立されている。
• $s = 1$ かつ $d = 2$ の場合、曲率法と $T(1)$ 定理により、$\gamma_1(E) \gtrsim \dot{C}_{\frac{2}{3},\frac{3}{2}}(E)$ が得られる。
• 未解決の問題として、$s \in (0,d)$ が非整数であるとき、すべてのコンパクト集合に対して $\gamma_s(E) \lesssim \dot{C}_{\frac{2}{3}(d-s),\frac{3}{2}}(E)$ が成り立つかどうかが残っている。