[論文レビュー] Calibrated embeddings in the special Lagrangian and coassociative cases

Robert L. Bryant|ArXiv.org|Dec 31, 1999

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 1被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、任意の閉じた、向き付け可能な、実解析的リーマン多様体としての3次元多様体が、カルビ・ヤウ3-foldにおける特別ラグランジュ部分多様体として等長埋め込み可能であることを確立している。同様に、自己双対2形式 bundle が自明な任意の4次元多様体は、G₂多様体における共同性部分多様体として等長埋め込み可能である。これらの埋め込みは、それぞれ反正則的および反G₂自己同型の固定点集合として実現可能であり、McLeanのモジュライ理論により、非自明な変形空間を持つコンパクトな自己調整部分多様体の豊富な例を提供する。

ABSTRACT

Every closed, oriented, real analytic Riemannian 3-manifold can be isometrically embedded as a special Lagrangian submanifold of a Calabi-Yau 3-fold, even as the real locus of an antiholomorphic, isometric involution. Every closed, oriented, real analytic Riemannian 4-manifold whose bundle of self-dual 2-forms is trivial can be isometrically embedded as a coassociative submanifold in a G_2-manifold, even as the fixed locus of an anti-G_2 involution. These results, when coupled with McLean's analysis of the moduli spaces of such calibrated submanifolds, yield a plentiful supply of examples of compact calibrated submanifolds with nontrivial deformation spaces.

研究の動機と目的

• 実解析的リーマン多様体としての3次元多様体を、カルビ・ヤウ3-foldにおける特別ラグランジュ部分多様体として等長埋め込みを構成すること。
• この構成を、自己双対2形式 bundle が自明な4次元多様体に拡張し、G₂多様体における共同性部分多様体として埋め込みを行うこと。
• これらの埋め込みを、それぞれ反正則的および反G₂等長自己同型の固定点集合として実現すること。
• McLeanのモジュライ空間解析を用いて、非自明な変形空間を有するコンパクトな自己調整部分多様体の存在を示すこと。

提案手法

• リーマン幾何学における自己調整部分多様体の理論を用い、特に特別ラグランジュおよび共同性構造に焦点を当てる。
• 実解析的リーマン多様体を自己調整環境空間に局所的に等長埋め込みするため、ナッシュ型の陰関数定理を適用する。
• カルビ・ヤウ多様体およびG₂多様体にリッチ平坦計量が存在することを用いて、環境の自己調整構造が適切に定義されることを保証する。
• 埋め込まれた部分多様体を固定する明示的な自己同型（反正則的および反G₂）を構成し、それが実的かつ完全測地的であることを保証する。
• 埋め込み構成における形式的べき級数解の収束を保証するため、計量の実解析的性質に依存する。
• McLeanの自己調整部分多様体の変形理論を組み合わせ、得られた部分多様体が非自明なモジュライ空間を有することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の閉じた、向き付け可能な、実解析的リーマン多様体としての3次元多様体は、カルビ・ヤウ3-foldにおける特別ラグランジュ部分多様体として等長埋め込み可能か？
• RQ2 任意の閉じた、向き付け可能な、実解析的リーマン多様体としての4次元多様体で、自己双対2形式 bundle が自明なものは、G₂多様体における共同性部分多様体として等長埋め込み可能か？
• RQ3 このような埋め込みは、それぞれ等長反正則的自己同型および反G₂自己同型の固定点集合として実現可能か？
• RQ4 これらの構成により、非自明な変形空間を有する自己調整部分多様体が得られるか？

主な発見

• 任意の閉じた、向き付け可能な、実解析的リーマン多様体としての3次元多様体は、カルビ・ヤウ3-foldにおける特別ラグランジュ部分多様体として等長埋め込み可能である。
• 同じ3次元多様体は、カルビ・ヤウ3-fold上での等長反正則的自己同型の実的固定点として埋め込み可能である。
• 自己双対2形式 bundle が自明な任意の閉じた、向き付け可能な、実解析的リーマン多様体としての4次元多様体は、G₂多様体における共同性部分多様体として等長埋め込み可能である。
• この4次元多様体の埋め込みは、反G₂等長自己同型の固定点集合として実現可能である。
• これらの構成により、McLean理論が予測するように、非自明な変形空間を有するコンパクトな自己調整部分多様体が得られる。
• 結果として、変形空間次元が消えないことから、非自明なモジュライを持つコンパクトな自己調整部分多様体の豊富な供給が得られる。