[論文レビュー] Calibration of Chaotic Models for Interest Rates

Matheus R. Grasselli, Tsunehiro Tsujimoto|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2011

Stochastic processes and financial applications参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ウィーナー chaotic 係数の多項式・指数関数的パラメータ化を用いた、カオス的金利モデルの新規キャリブレーションフレームワークを提案する。これにより、解析的取り扱いのしやすさと正の保証が可能となる。実証的に、1変数3次 chaotic モデルが、Hull-White モデルや有理対数正規モデルを上回るオプションプライシング性能を示し、LIBOR マーケットモデルと同等の性能を、より少ないパラメータ数で達成することが確認された。これは、金利期限構造およびオプションデータのキャリブレーションによって裏付けられている。

ABSTRACT

In this paper we calibrate chaotic models for interest rates to market data using a polynomial-exponential parametrization for the chaos coefficients. We identify a subclass of one-variable models that allow us to introduce complexity from higher order chaos in a controlled way while retaining considerable analytic tractability. In particular we derive explicit expressions for bond and option prices in a one-variable third chaos model in terms of elementary combinations of normal density and cumulative distribution functions. We then compare the calibration performance of chaos models with that of well-known benchmark models. For term structure calibration we find that chaos models are comparable to the Svensson model, with the advantage of guaranteed positivity and consistency with a dynamic stochastic evolution of interest rates. For calibration to option data, chaos models outperform the Hull and White and rational lognormal models and are comparable to LIBOR market models.

研究の動機と目的

• 市場データを用いたカオス的金利モデルの実用的キャリブレーション手法の開発。
• 金利の時間的変動における正の保証と動的整合性を確保できない従来モデルの限界を克服すること。
• Hull-White、有理対数正規、LIBOR マーケットモデルといったベンチマークモデルと同等かそれ以上の性能を、金利期限構造とオプション価格の両方のフィッティングにおいて達成できるかどうかの評価。
• 特に3次までの高次 chaotic モデルの解析的取り扱いのしやすさを検討すること。
• パラメータ数を考慮した情報量基準を用いてモデル性能を評価し、より単純なモデルを優遇すること。

提案手法

• 終端確率変数 $X_{\infty}$ のウィーナー chaotic 分解を用いてゼロクーポン債価格をモデル化し、条件付き分散を通じて確率的短期金利を導出する。
• 解析的取り扱いのしやすさと複雑さの制御を目的として、chaotic 係数に多項式・指数関数的パラメータ化を適用する。
• 標準正規密度関数および累積分布関数を用いて、1変数3次 chaotic モデルにおける債券およびオプション価格の明示的閉形式表現を導出する。
• 最小二乗法による最適化を用いて、実際の金利期限構造および平値キャプレット・スワプション価格を、1日ごとのキャリブレーションを実施する。
• 全誤差、金利誤差、キャプレット誤差、スワプション誤差という指標を用いて、異なるモデル間のキャリブレーション性能を比較する。
• パラメータ数をペナルティとして加味する Akaike 情報基準 (AIC) を用いて、モデルのフィットネスを評価し、より単純なモデルを優遇する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 カオス的金利モデルは、実際の市場データ（金利期限構造およびオプション価格）に効果的にキャリブレーション可能か？
• RQ2 Hull-White、有理対数正規、LIBOR マーケットモデルといったベンチマークモデルと比較して、カオス的モデルは金利期限構造およびオプションデータのフィッティングにおいてどのように性能を発揮するか？
• RQ3 高次 chaotic（例：3次）を含めることで、モデル性能が向上するか、かつ解析的取り扱いのしやすさを保つことができるか？
• RQ4 個々の金利を個別にフォワード測度下でモデル化することなく、フォワード金利間の複雑な相関構造を再現できるか？
• RQ5 情報基準を用いて評価した場合、より単純なカオス的モデルは、LIBOR マーケットモデルのような複雑なベンチマークを上回る性能を示せるか？

主な発見

• 金利期限構造のキャリブレーションにおいて、カオス的モデルは Svensson モデルと同等の性能を示し、正の保証と完全に確率的な金利プロセスとの整合性という追加的利点を有する。
• オプションデータのキャリブレーションにおいて、カオス的モデルは Hull-White モデルや有理対数正規モデルを著しく上回り、LIBOR マーケットモデルと同等のフィッティング誤差を達成する。
• Akaike 情報基準 (AIC) による評価において、7パラメータの1変数3次 chaotic モデルは、最初のデータセットでは13パラメータの LIBOR マーケットモデルを常に上回り、2番目のデータセットでも競争力のある性能を示した。
• 9パラメータの1変数3次 chaotic モデルは、最初のデータセットで39/53、2番目のデータセットで39/53の頻度でAICに基づくモデル選択に選ばれ、それぞれ30/53および14/53の頻度で LIBOR モデルを上回った。
• 3次 chaotic クラスにおける7パラメータのモデルは、最初のデータセットで全誤差4.2%、2番目のデータセットで7.8%を記録し、スワプション誤差はそれぞれ13.4%および5.5%であった。これは、さまざまな金融商品において優れた性能を示している。
• 結果から、カオス的モデルは個別にフォワード金利をモデル化することなく、LIBOR マーケットモデルが示す複雑な相関構造を再現可能であり、より単純な代替手段を提供できることが示唆される。