[論文レビュー] Calibration of Local-Stochastic Volatility Models by Optimal Transport

Ivan Guo, Grégoire Loeper+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 19被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、インプライド・ボラティリティ・サーフェスの補間を回避し、観測されたヨーロピアン・オプション・プライスを直接一致させる、新しい最適輸送に基づくローカル・ストキャスティック・ボラティリティ（LSV）モデルのキャリブレーション手法を提案する。凸双対性とセミマーティンググ・オプティマル・トランスポート枠組みを用い、キャリブレーションをポリシー反復とADインプリシット（ADI）スキームで解く完全非線形のハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン（HJB）方程式として定式化することで、事前分布の仮定なしに市場データに正確に適合する。

ABSTRACT

In this paper, we study a semi-martingale optimal transport problem and its application to the calibration of Local-Stochastic Volatility (LSV) models. Rather than considering the classical constraints on marginal distributions at initial and final time, we optimise our cost function given the prices of a finite number of European options. We formulate the problem as a convex optimisation problem, for which we provide a PDE formulation along with its dual counterpart. Then we solve numerically the dual problem, which involves a fully non-linear Hamilton-Jacobi-Bellman equation. The method is tested by calibrating a Heston-like LSV model with simulated data and foreign exchange market data.

研究の動機と目的

• インプライド・ボラティリティ・サーフェスの補間に依存する従来のLSVキャリブレーション手法の不安定性と不正確さを是正すること。
• 既存のキャリブレーション技術におけるパラメトリック・モデルとアービタージュ・フリー制約の限界を克服すること。
• 完全なインプライド・ボラティリティ・サーフェス再構築を必要とせず、有限の市場オプション・プライスを直接使用するキャリブレーションフレームワークを開発すること。
• 補間を回避し、最適輸送双対性による市場整合性を強制することで、レバレッジ関数が適切に定義され、滑らかになるようにすること。
• モデル整合性を維持し、アービタージュ違反を回避する、ロバストで非パラメトリックなキャリブレーション手法を提供すること。

提案手法

• 観測されたヨーロピアン・オプション・プライスを制約として用いるセミマーティンググ・オプティマル・トランスポート問題としてLSVキャリブレーション問題を定式化し、周辺分布の代わりにする。
• フェンヒェル＝ロカファラー双対性を用いて双対定式化を導出し、完全非線形のハミルトニアン・ヤコビ・ベルマン（HJB）方程式を導く。
• 各時刻でHJB方程式を解くためにポリシー反復アルゴリズムを実装し、価値関数を繰り返し更新する。
• 交替方向陽解法（ADI）を用いて、HJB方程式およびフォッカー・プランク方程式を高い安定性と精度で数値的に解く。
• L-BFGSアルゴリズムを用いて、市場オプション・プライスに関連するラグランジュ乗数を更新し、キャリブレーション誤差を最小化する。
• 成熟日におけるオプション・ペイオフ制約を埋め込む時間離散化スキームと双対問題を統合する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 最適輸送理論は、インプライド・ボラティリティ・サーフェスの補間を回避してLSVモデルをキャリブレートするために適応可能か？
• RQ2 セミマーティンググ・オプティマル・トランスポートを用いたLSVキャリブレーション問題の双対定式化は、安定的かつ正確なキャリブレーション手法をもたらすか？
• RQ3 得られたHJB方程式は、ADインプリシット（ADI）とポリシー反復を用いて効率的に数値的に解けるか、かつ市場整合性を保つことができるか？
• RQ4 従来の補間ベースのアプローチと比較して、実際の外国為替（FX）データ上で本手法はどのように性能を発揮するか？
• RQ5 有限の観測オプション・プライスのみを用いる場合、レバレッジ関数の正則性と存在性にどのような影響を与えるか？

主な発見

• 提案手法は、補間を一切行わず、すべての指定されたヨーロピアン・オプション・プライスに正確に適合するHeston風LSVモデルをシミュレートデータにキャリブレートできることを示し、収束を確認した。
• 2012年8月の実際のFX市場データにおいて、1か月から5年までの満期にわたり、10デルタ、25デルタ、50デルタのコピュータ・プット・オプションに正確にキャリブレーションした。
• 勾配ノルムが1e-5未満となるL-BFGS更新スキーム下で、アルゴリズムは収束を示し、ロバストな最適化挙動を示した。
• 双対HJB定式化の使用により、市場データが疎であっても、アービタージュ条件に整合したキャリブレーションが保証された。
• 本手法は、インプライド・ボラティリティ・サーフェスのパラメトリック補間に起因する不安定性とアービタージュ違反を回避した。
• 数値実験により、解が適切に定義されており、最適輸送フレームワークがレバレッジ関数を暗黙的に正則化していることが確認された。