[論文レビュー] Callias-type operators in $C^\ast$-algebras and positive scalar curvature on noncompact manifolds

S. Cecchini|arXiv (Cornell University)|Nov 6, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非コンパクトなスピン多様体上のヒルベルト $C^{\bullet}$-加群バンドルとねじれたコールヤス型作用素の理論を構築し、完全な計量が正のスカラー曲率を持つことを妨げる新たな障害を示すインデックス定理を確立する。主な結果は、完全なスピン多様体 $M$ が codimension-one の部分多様体 $N$ を持ち、スカラー曲率が非負であり、$N$ の近傍で厳密に正であるならば、複素ローゼンバーグインデックス $\alpha_{\mathbb{C}}(N)$ は消える必要がある。これは、このような幾何的構造に強い制約を与える。

ABSTRACT

A Dirac-type operator on a complete Riemannian manifold is of Callias-type if its square is a Schrödinger-type operator with a potential uniformly positive outside of a compact set. We develop the theory of Callias-type operators twisted with Hilbert $C^\ast$-module bundles and prove an index theorem for such operators. As an application, we derive an obstruction to the existence of complete Riemannian metrics of positive scalar curvature on noncompact spin manifolds in terms of closed submanifolds of codimension-one.

研究の動機と目的

• 非コンパクト多様体上のヒルベルト $C^*$-加群バンドルへのコールヤス型作用素のインデックス理論を拡張すること。
• 非コンパクトなスピン多様体上に完全なリーマン計量が正のスカラー曲率を持つことを妨げる新たな障害を確立すること。
• 部分多様体 $N$ の近傍でスカラー曲率が厳密に正であり、$N \times \mathbb{R}$ が非負のスカラー曲率を持つ完全計量を備えるならば、複素ローゼンバーグインデックス $\alpha_{\mathbb{C}}(N)$ が消えることを証明すること。
• スカラー曲率が一様に正でない場合にも、部分多様体のコラール近傍での正性を仮定することで、ローゼンバーグの定理 1.3 を非一様正のスカラー曲率計量へ一般化すること。

提案手法

• コンパクト集合の外で正のポテンシャルを持つシュレーディンガー型作用素の平方を持つ、完全なリーマン多様体上のコールヤス型作用素の関数解析的枠組みを構築すること。
• 基本群の複素群 $C^*$-代数に関連するヒルベルト $C^*$-加群バンドル値のねじれたディラク作用素を導入し、その性質を研究すること。
• 特定の台と勾配の条件を満たす切断関数の列 $\{\phi_k\}$ を用いて単位元を近似し、作用素ノルムを制御すること。
• 関数 $C^*$-代数の循環的表現理論を用いて、ねじれたコールヤス作用素の随伴性を解析し、$L^2$-意味での自己随伴性を証明すること。
• ボッハナー＝リッヒネロヴィツの公式とコラール近傍での曲率の正性を組み合わせ、インデックス不変量の消滅を導出すること。
• 優越収束定理と $\|\phi_k Q_\rho s\|_0$ の一様有界性を用いて極限に移行し、形式的随伴の必要十分な対称性を確立すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非コンパクト多様体上に完全な計量が正のスカラー曲率を持つとき、$N \times \mathbb{R}$ が完全な計量を持つならば、閉じたスピン多様体 $N$ に対して複素ローゼンバーグインデックス $\alpha_{\mathbb{C}}(N)$ が消える条件は何か？
• RQ2 非コンパクト多様体上の正のスカラー曲率の障害を、一様に正であるという条件を満たさない場合にも、部分多様体の近傍での点ごとの正性に弱める形で拡張できるか？
• RQ3 包含写像 $i_*: \pi_1(N) \to \pi_1(M)$ が基本群に誘導する写像の単射性が、インデックスの消滅結果に果たす役割は何か？
• RQ4 ディラク作用素の $C^*$-代数的ねじれ理論が、非コンパクト多様体における既存のインデックス理論の障害をどのように洗練させるか？
• RQ5 複素 $C^*$-代数的インデックス障害が、グローマン＝ローラン＝ローゼンバーグ予想を満たすすべての閉じたスピン多様体に対して、予想 1.2 を示すのに用いられるか？

主な発見

• 完全なスピン多様体 $M$ が codimension-one の部分多様体 $N$ を持ち、包含写像が $\pi_1$ に単射を誘導するならば、$M$ が非負のスカラー曲率であり、$N$ のコラール近傍で厳密に正のスカラー曲率を持つならば、複素ローゼンバーグインデックス $\alpha_{\mathbb{C}}(N)$ は消える。
• この結果は、$N \times \mathbb{R}$ の円筒に適用され、このような多様体が非負のスカラー曲率を持つ完全計量と $N$ の近傍で厳密に正の曲率を持つならば、$\alpha_{\mathbb{C}}(N) = 0$ であることが示され、一様正の曲率がなくても成り立つ。
• 証明は、切断関数と $\|\phi_k Q_\rho s\|_0$ の一様有界性を用いた、新しい関数解析的アプローチに依拠しており、$L^2$-意味での収束を保証する。
• 自己随伴性は、勾配が制御された切断関数の列を用いた極限の議論により確立される。
• この方法は、多様体全体にわたるスカラー曲率の一様正の必要性を回避するため、より広いクラスの計量に適用可能な障害を提供する。
• この結果は、ローゼンバーグの定理 1.3 の部分的な逆を提供し、非一様正のスカラー曲率計量への適用範囲を拡張する。