[論文レビュー] Calogero-Moser operators in infinite dimension

A. N. Sergeev, А. П. Веселов|ArXiv.org|Oct 11, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 15被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、追加のパラメータ $ p_0 $ を含む非安定なリフト法を用いて、無限次元のカロジェロ＝モーザー作用素を導入し、ジャック–ローレン卜対称関数の定義を可能にする。主な貢献は、$ k = -1 $ におけるこれらの関数の極限が $ p_0 $ に依存せず、ジャコビ–トゥーリー型の行列式公式を導くことである。この公式は、$ \mathfrak{gl}(m,n) $ の既約表現の特徴と関連し、スーパーキャラクター理論に影響を与える。

ABSTRACT

Various infinite-dimensional versions of the Calogero-Moser operator are discussed. The related class of Jack-Laurent symmetric functions is studied. In the special case when parameter k=-1 the analogue of Jacobi-Trudy formula is given and the relation with representation theory of Lie superlagebra gl(m,n) is discussed.

研究の動機と目的

• 有限次元の作用素の安定性に依存しない無限次元のカロジェロ–モーザー作用素を構成すること。
• ジャック–ローレン卜対称関数 $ P_{\lambda,\mu}(k,p_0) $ を定義・研究し、ジャック多項式をローレン卜対称関数に一般化すること。
• 特別な場合 $ k = -1 $ を調べ、ジャック–ローレン卜関数の極限が $ p_0 $ に依存しなくなることの証明と、この極限に対するジャコビ–トゥーリー型の行列式公式の確立。
• 得られた対称関数が、リー超代数 $ \mathfrak{gl}(m,n) $ の表現理論、特に特徴とスーパーキャラクターとの関係を明らかにすること。
• 標準的な表現論的条件が成立しない $ m = n $ の場合におけるオイラー超キャラクターの役割を調査すること。

提案手法

• パワーユニット生成子 $ p_a $ を用いて、有限次元のカロジェロ–モーザー作用素を無限次元にリフトし、$ p_a $ と $ \partial_a = a \partial / \partial p_a $ における微分作用素の式で $ \tilde{\mathcal{L}}_k^{(\infty)} $ を定義する。
• 非安定なリフトとして $ p_0 $ をパラメータとして含め、$ \Lambda^\pm $ のローレン卜対称関数の代数上で作用する $ \hat{\mathcal{L}}_{k,p_0}^{(\pm\infty)} $ を構成する。
• 無限次元作用素の固有関数としてジャック–ローレン卜対称関数 $ P_{\lambda,\mu}(k,p_0) $ を定義し、固有値が $ k $, $ p_0 $, および分割の重みに依存することを示す。
• $ \Lambda^\pm $ 上の $ * $-対合を用いて $ h_i^* $ を定義し、$ k \to -1 $ における $ P_{\lambda,\mu} $ の極限に対して $ (r+s) \times (r+s) $ の行列式公式を構成する。
• $ p_i \mapsto p_i(x,y) = \sum x_j^i - \sum y_k^i $ とすることで、$ \varphi_{m,n} $ を適用し、関数を $ \mathfrak{gl}(m,n) $ のグローテンディーク環にマッピングする。
• $ w $ をBerezinian $ \Delta $ にマッピングする拡張代数 $ \Lambda^\pm[w] $ を導入し、$ m = n $ の場合におけるオイラー超キャラクターをモデル化する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有限次元作用素の安定性に依存せずに、カロジェロ–モーザー作用素を一貫して無限次元にリフトすることは可能か？
• RQ2 ジャック–ローレン卜対称関数 $ P_{\lambda,\mu}(k,p_0) $ の構造と挙動、特に $ k \to -1 $ における極限の性質は何か？
• RQ3 $ k = -1 $ におけるジャック–ローレン卜関数の極限はパラメータ $ p_0 $ に依存するか？もしならざるなら、その代数的形は何か？
• RQ4 これらの関数は、リー超代数 $ \mathfrak{gl}(m,n) $ の既約表現の特徴とどのように関係しているか？
• RQ5 $ m = n $ の場合、標準的な特徴公式が成立しないが、オイラー超キャラクターは表現論的解釈においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 無限次元カロジェロ–モーザー作用素 $ \tilde{\mathcal{L}}_k^{(\infty)} $ は、パワーユニット変数における2階微分作用素として定義され、明示的な形は $ \sum_{a,b>0} p_{a+b} \partial_a \partial_b - k \sum_{a,b>0} p_a p_b \partial_{a+b} + \sum_{a>0} (a + a k - k) p_a \partial_a $ である。
• $ k = -1 $ のとき、$ P_{\lambda,\mu}(k,p_0) $ の $ k \to -1 $ における極限は $ p_0 $ に依存せず、定理7.1で述べられるように、$ h_i^* $ と $ h_i $ を含む $ (r+s) \times (r+s) $ の行列式で与えられる。
• 式 (30) の行列式公式は、Moens と Van der Jeugt の $ s_{\bar{\mu},\lambda}(x/y) $ のスーパーキャラクター公式と一致し、$ \mathfrak{gl}(m,n) $ の表現理論への直接的な関連を示している。
• $ \varphi_{m,n} $ を適用すると、$ P_{\lambda,\mu}(-1) $ の像は $ s_{\bar{\mu},\lambda}(x/y) $ と一致し、$ \lambda, \mu $ に関するある条件下で、これは $ \mathfrak{gl}(m,n) $-加群の既約表現の特徴である。
• $ m = n $ の場合、標準的な特徴公式が成立しないが、$ \Lambda^\pm $ を $ w $ を含むように拡張し、$ \varphi_{m,n}(w) = \Delta $ とすることで、オイラー超キャラクターをモデル化できる。関数 $ E_{1,1} = p_1 p_{-1} - 1 + w $ は、$ (1,1) $ の場合に正しいスーパーキャラクターを与える。
• $ \hat{\mathcal{L}}_{k,p_0}^{(\pm\infty)} $ が $ P_{\lambda,\mu,l} $ に作用する固有値は $ E_{\lambda,\mu,l} = E_{\lambda,\mu} + p_0 l^2 + 2l(|\lambda| - |\mu|) $ であり、$ E_{\lambda,\mu} $ は式 (20) で定義される。