[論文レビュー] Can a Hagedorn system have a temperature other than $T_C$ or can a thermostat have a temperature other than its own?

L. G. Moretto, K. A. Bugaev+2 more|ArXiv.org|Jan 4, 2006

Complex Systems and Time Series Analysis被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、指数的レベル密度 ρ∝exp(aE) で特徴づけられるHagedorn系は、唯一の固有温度 TC=1/a でのみ存在可能であり、従来の Z(T)=TC T/(TC−T) という温度依存の分配関数が TC より低い任意の温度を想定しているのとは対照的であると主張している。著者らは、このような分配関数が熱力学的に整合性がないことを示しており、Hagedorn系はエントロピーがエネルギーに対して線形であるため、固定された固有温度 T_C を持つため、任意の T<TC で熱浴に結合可能であるという仮定は物理的に不可能である。

ABSTRACT

This is a note intended to complement our paper (nucl-th/0504010) and addressed to the attention of QGP workers interested in bag models, Hagedorn spectra, and the like. It tries to show that with a Hagedorn-like experimental spectrum the partition function can not be calculated and that a canonical description derived for the microcanonical ensemble exists only for a single, fixed temperature.

研究の動機と目的

• Hagedorn系に対して温度依存の分配関数 Z(T) = TC T/(TC−T) を用いる従来の手法の批判を目的とする。
• 指数的レベル密度 ρ∝exp(aE) を持つ系は、固有の温度 TC=1/a で唯一の温度状態にあり、それ以外の温度では存在できないことを明確にする。
• 標準的な分配関数のアプローチが、任意の熱浴への結合を仮定しているが、これはこのような系では物理的に妥当でないため、失敗することを示す。
• 熱平衡が成立するのは、両系のエントロピーの対数微分（すなわち逆温度）が一致する場合に限られ、Hagedorn系ではこれが T=TC のみで可能であることを確立する。

提案手法

• Hagedorn系のレベル密度 ρ(E) = exp(E/TC) を分析し、これが線形エントロピー S(E) = E/TC をもたらすことを示す。
• ラプラス変換を用いて分配関数 Z(T) を導出する：Z(T) = ∫ exp(E/TC) exp(−E/T) dE = TC T/(TC−T) であるが、これが物理的に無効であることを示す。
• マイクロカノニカルからカノニカルへの移行を用いて、分配関数が意味を持つのは、系のエントロピー S(E) が熱浴の逆温度と一致できる場合に限ることを示す。
• 熱平衡の条件を適用する：∂S_A/∂E = ∂S_B/∂E であり、これは 1/T_A と 1/T_B が一致する必要があることを意味する。これは両系の温度依存エントロピー微分が整合可能である場合にのみ成立する。
• Hagedorn系では S(E) が線形であるため、T_A はエネルギーに依存せず一定であり、結果として T_C で真の熱浴として機能することを示す。
• 線形 S(E) を持つ系は T≠T_C の温度に強制的に配置できないため、T_C 以外の温度に分配関数 Z(T) を割り当てることは熱力学的に意味を持たない、と結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Hagedorn系は、その固有臨界温度 TC=1/a 以外の温度に割り当てられる可能性があるか？
• RQ2 標準的分配関数 Z(T)=TC T/(TC−T) はHagedorn系に対して有効であるか、それとも熱力学的整合性を破るか？
• RQ3 指数的レベル密度 ρ∝exp(aE) を持つ系は、TC より低い任意の温度 T で熱浴に結合可能か？
• RQ4 エントロピー S(E) がエネルギーに対して線形であるとき、分配関数 Z(T) の物理的意味は何か？
• RQ5 特にHagedorn系が関与する場合、二つの系の間で熱平衡が成立するのはどのような条件下か？

主な発見

• レベル密度 ρ∝exp(aE) を持つHagedorn系は、固定された固有温度 TC=1/a を持ち、それ以外の温度では存在できない。
• 標準的分配関数 Z(T)=TC T/(TC−T) は熱力学的に整合性がない。なぜなら、系が任意の T<TC で熱平衡にあり得ると仮定しているが、これは固定された温度を持つ系と矛盾する。
• 系の分配関数が物理的に意味を持つのは、そのエントロピー S(E)=lnρ(E) が逆温度（dS/dE）を熱浴と一致させられる場合に限る。Hagedorn系では、これは T=TC のみで可能である。
• 二つの系の間で熱平衡が成立するには、両者の逆温度が一致する必要がある。Hagedorn系では、これが第二の系も T=TC を持つ場合にのみ可能である。
• 線形 S(E) を持つ系は、エネルギーに依存しない固定された温度 T_C を持つため、T≠T_C に強制的に配置することはできず、これはエントロピーの勾配によって決定される固有の性質である。
• Hagedorn系に対して Z(T) を用いることは、共鳴ガスモデルやバッグモデルの計算で誤った結果をもたらす。なぜなら、熱浴は常にその固有温度しか持てないという原則に反するからである。