[論文レビュー] Can an infinite left-product of nonnegative matrices be expressed in terms of infinite left-products of stochastic ones?

Alain Thomas|arXiv (Cornell University)|Aug 25, 2009

Matrix Theory and Algorithms参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、固有値1に対する共通の右固有ベクトルがゼロ成分を含む場合でも、非負行列の無限左積が、確率的行列の無限左積で表現可能かどうかを調査する。元の積の収束が、不変部分空間上で関連する確率的積の収束と同値であることが示され、非負固有ベクトルの拡張を超えて既知の結果を拡張する。

ABSTRACT

If a left-product $M_n... M_1$ of square complex matrices converges to a nonnull limit when $n o\infty$ and if the $M_n$ belong to a finite set, it is clear that there exists an integer $n_0$ such that the $M_n$, $n\ge n_0$, have a common right-eigenvector $V$ for the eigenvalue 1. Now suppose that the $M_n$ are nonnegative and that $V$ has positive entries. Denoting by $Δ$ the diagonal matrix whose diagonal entries are the entries of $V$, the stochastic matrices $S_n=Δ^{-1}M_nΔ$ satisfy $M_n... M_{n_0}=ΔS_n... S_{n_0}Δ^{-1}$, so the problem of the convergence of $M_n... M_1$ reduces to the one of $S_n... S_{n_0}$. In this paper we still suppose that the $M_n$ are nonnegative but we do not suppose that $V$ has positive entries. The first section details the case of the $2 imes2$ matrices, and the last gives a first approach in the case of $d imes d$ matrices.

研究の動機と目的

• 固有値1に対する共通の右固有ベクトルがゼロ成分を含む場合でも、非負行列の無限左積が確率的行列の無限左積で特徴付けられるかどうかを特定すること。
• 正の固有ベクトルのケースを超えて、非負行列から確率的行列への古典的還元を拡張すること。
• 不変部分空間上での確率的対応物を用いて、非負行列の無限左積の収束に関する必要十分条件を同定すること。
• スペクトル部分空間上で、元の行列積の収束と関連する確率的積の収束の同値性を形式化すること。ただし、非対角ブロックに追加の条件を課す。

提案手法

• 2×2行列の場合、固有値1に対する共通の右固有ベクトルの構造に基づいて収束を分類し、正、ゼロ、または混合成分のケースを区別する。
• 固有ベクトルVから導かれる対角行列Δを用いた相似変換を導入し、非負行列を確率的行列Sₙ = Δ⁻¹MₙΔに変換する。
• d×d行列の場合、各右固有ベクトルVᵢの台に基づいてインデックス集合をブロックKᵢに分割し、各ブロックKᵢ上で確率的積Sₙ⁽ⁱ⁾を構成する。
• 元の積の収束が、各ブロックKᵢ上でSₙ⁽ⁱ⁾⋯Sₙ₀⁽ⁱ⁾の収束に加え、Kᶜを含む非対角ブロック積の収束と同値であることを示す。
• ブロック行列の分解と積の公式を用いて、元の行列積を三角的ブロック行列の積に関連づけ、不変部分空間上の挙動を分離する。
• 特に、|det Qₙ|がゼロに近づくか否かに注目して、確率的積の行列式およびトレースのダイナミクスを用いて収束を分析する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固有値1に対する共通の右固有ベクトルがゼロ成分を含む場合でも、非負行列の無限左積の収束が、確率的行列の無限左積の収束に還元可能か。
• RQ2 不変部分空間上での確率的積の収束が、元の非負行列積の収束を保証するために必要な追加条件は何か。
• RQ3 特にゼロ成分を含む右固有ベクトルの構造が、非負行列積を確率的行列に還元可能にする要因にどのように影響するか。
• RQ4 非対角ブロックMᴷᶜ, Mᴷ, およびMᴷ,ᴷᶜに対して、どのような条件下で、不変部分空間上での収束が全積Mₙ⋯M₁の収束を保証するか。

主な発見

• 2×2非負行列の場合、左積Mₙ⋯M₁の収束は以下の3つのケースのいずれかと同値である：(1) 共通の正の右固有ベクトルが存在し、関連する確率的積が収束すること、(2) 共通の右固有ベクトル(1,0)ᵀで、bₙdₙ₋₁⋯dₙ₀の和が有限かつdₙ⋯dₙ₀が収束すること、(3) 共通の右固有ベクトル(0,1)ᵀで、cₙaₙ₋₁⋯aₙ₀の和が有限かつaₙ⋯aₙ₀が収束すること。
• d×dの場合、Mₙ⋯M₁の収束は、各右固有ベクトルVᵢの台に対応するブロックKᵢ上でSₙ⁽ⁱ⁾⋯Sₙ₀⁽ⁱ⁾の収束に加え、非対角ブロック積∑ᵢ₌ₙ₀ⁿ Mᴷⁿ⋯Mᴷⁱ⁺¹ Mᴷ,ᴷᶜⁱ Mᴷᶜⁱ⁻¹⋯Mᴷᶜⁿ₀の収束と同値である。
• ∑ᵢ₌ₙ₀ⁿ Mᴷⁿ⋯Mᴷⁱ⁺¹ Mᴷ,ᴷᶜⁱ Mᴷᶜⁱ⁻¹⋯Mᴷᶜⁿ₀の和の条件は必要不可欠であり、反例により、対角ブロックが収束してもこの和が発散する場合があることが示された。
• すべてのnに対してMᴷᶜⁿのスペクトル半径が1未塔、または固定されたhに対して積Mᴷᶜⁿ⁺ʰ⋯Mᴷᶜⁿにおける1以上の固有値が消える場合、非対角収束条件は満たされる。
• 正規化積Rₙ = Mₙ⋯M₁ / ||Mₙ⋯M₁||の収束は、λ ≠ 0である固有値を持つ無限回出現する各行列Mの右固有ベクトルとして、Rの非ゼロ列が得られることを示唆する。
• 本論文は、正規化積Rₙの収束が(1/λ)Mₙ⋯M₁の収束を意味しないが、逆は成り立つことを確立した：もし(1/λ)Mₙ⋯M₁が非ゼロ行列に収束すれば、Rₙも収束する。